¿Puede 1 kilogramo de material radiactivo con una vida media de 5 años simplemente decaer en el próximo minuto?

La respuesta corta es sí . No importa cuántos átomos haya, siempre hay una probabilidad (a veces muy pequeña) de que todos se desintegren en el siguiente minuto. La respuesta divertida es ver cuán pequeña se vuelve esta probabilidad para una gran cantidad de átomos.

Tomemos yodo-131 , que elegí porque tiene una vida media razonable de alrededor$8$dias =$\text{691,200}$segundos. Ahora$1$kg de yodo-131 tendrá alrededor$7.63 \times N_A$átomos en él, donde$N_A$es la constante de Avogadro. Usando la fórmula de probabilidad para la descomposición de un átomo en el tiempo$t$:

y suponiendo que todos los decaimientos son estadísticamente independientes$^\dagger$, la probabilidad de que todos los átomos se hayan desintegrado en un minuto es:

dónde$\lambda$es la constante de decaimiento, igual a$\frac{\ln 2}{\text{half-life}}$, en este caso, casi exactamente$10^{-6}\,\text{s}^{–1}$. Entonces

(Elegí el yodo-131 como un ejemplo concreto, pero casi cualquier átomo radiactivo tendrá una probabilidad similar, sin importar cuál sea la masa o la vida media). Entonces, si realizó este experimento en$10^{1.94\times10^{25}}$tales configuraciones, esperaría que todos los átomos se desintegraran en una de las configuraciones, en promedio.

Para darle una idea de cuán incomprensiblemente grande es este número, hay "solo"$10^{78}$átomos en el universo - eso es$1$seguido por$78$ceros$10^{1.94\times10^{25}}$es$1$seguido por más de un billón de billones de ceros. Prefiero apostar a los caballos.

$^\dagger$Este modelo de distribución de Poisson es una aproximación simplificadora, pero quizás tosca, en este escenario, ya que incluso las pequeñas desviaciones de la independencia estadística pueden sumar grandes factores de supresión dado el número de átomos, y así$10^{1.94\times10^{25}}$es ciertamente un límite superior (por supuesto, la aproximación está totalmente justificada si los átomos están separados hasta el infinito en$0 \text{ K}$, o sus productos de descomposición no tienen suficiente energía para hacer más de un$1/N_A$-cambio de orden en la probabilidad de descomposición de otros átomos). Se tendría que adaptar un análisis más detallado específicamente al isótopo en consideración, o se podría hacer una aproximación de siguiente orden haciendo que el decaimiento sea constante.$\lambda$función estrictamente creciente del tiempo. Tenga la seguridad de que la verdadera probabilidad, aunque es mucho más difícil de calcular que esta estimación al dorso del sobre, aún se encontrará en el alucinante territorio grande de$1$en$1$seguido de varios billones de ceros.

TLDR: los modelos estadísticos son modelos y, por lo tanto, por definición, no son un reflejo perfecto de la realidad.

La respuesta de Nihar es buena, pero la abordaré desde una dirección diferente.

En primer lugar, si solo observamos la mecánica estadística, puede ejecutar las matemáticas y, por supuesto, encontrará una probabilidad extremadamente pequeña. Podrías detenerte allí. Pero la mecánica estadística usa modelos estadísticos, y todos los modelos están equivocados. Hacen suposiciones y necesariamente simplifican la realidad para resolver problemas complicados. Muy bien podría haber algunos procesos físicos no explicados en la mecánica estadística que niegan cualquier posibilidad de un decaimiento tan rápido.

Un ejemplo clásico es tener una habitación y calcular la probabilidad de que todo el oxígeno, de repente, esté solo en la mitad de la habitación. Desde el punto de vista de la mecánica estadística, es básicamente la probabilidad de lanzar una moneda justa una cantidad inimaginablemente grande de veces y que todas caigan de la misma manera. Pero en realidad, el número inimaginablemente pequeño que calcularía no sería correcto, porque las suposiciones hechas por su modelo no reflejarían perfectamente la realidad (por ejemplo, las partículas interactúan entre sí). Al igual que la ley de los gases ideales, estas cosas son útiles, pero pueden fallar por completo si te desvías demasiado de las suposiciones hechas. Esto es cierto para todos los modelos estadísticos, por supuesto.

Entonces, si asumimos que el modelo estadístico de Half Life es una representación completamente precisa de la realidad, la respuesta a su pregunta es técnicamente sí. Por supuesto que sabemos que no lo es, así que eso me lleva a mi punto final.

También hay un fuerte componente filosófico en este tipo de preguntas, ya que estamos tratando con probabilidades que son tan pequeñas que efectivamente son 0. Si alguien lanza una moneda mil millones de veces y sale cruz cada vez, nadie pensará que es una moneda justa. , porque obviamente no lo es*. También podría considerar la criptografía de última generación. Las probabilidades de adivinar con éxito una clave al azar son tan bajas que, para todos los efectos, es 0. O imagina ver un video de un montón de vidrios rotos que se forman en un jarrón. Tu conclusión no sería 'nos vemos, termodinámica, no me gustaría ser tú', sería 'Estoy viendo un video de un jarrón rompiéndose al revés'. Sí,

* La idea de una moneda justa es una madriguera de conejo en sí misma. ¿Cómo se determina que una moneda es justa? Lanzándolo un montón de veces y observando un número casi igual de cruces y caras. Si se desvía demasiado del 50/50, lo declaramos sesgado. Pero, por supuesto, independientemente del resultado que observemos, siempre existe la posibilidad de que sea una moneda justa, por lo que técnicamente nunca podemos saberlo con certeza. Entonces, para hacer uso de las estadísticas, debemos elegir arbitrariamente un punto de corte para la probabilidad aleatoria. Por lo general, esto es 2 sigma, tal vez 3. CERN usa 5 sigma para la detección de nuevas partículas, pero nuevamente, esto es arbitrario. La estadística aplicada es tanto un arte como una rama de las matemáticas.

Una cosa a tener en cuenta es que esta no es solo una cuestión de estadística y la analogía de los átomos que se descomponen y lanzan monedas puede ser engañosa.

Por ejemplo, el uranio 235 tiene una vida media de más de 700 millones de años, pero cuando se lleva en la configuración correcta (empaquetado compacto) y en la cantidad correcta (por encima de la masa crítica), se desintegra prácticamente en un instante... Simplemente porque uno la descomposición de un átomo puede desencadenar la descomposición de otro y así sucesivamente en una reacción en cadena.

Entonces, si puede asumir que todas las desintegraciones ocurren independientemente unas de otras, entonces las respuestas basadas puramente en estadísticas son válidas. Si se trata más de física que de estadística, entonces depende del material exacto, es decir, qué material es puro, en qué configuración, etc.

La respuesta es no'. Este 'no' está en el mismo nivel como:

• ¿Puede suceder que flotes durante 15 minutos en medio de tu habitación? (La mecánica estadística dice técnicamente que sí, pero nuevamente con una probabilidad cero para todos los propósitos prácticos)
• ¿Puedes poner un mono frente a una máquina de escribir y sacarle novelas de Shakespeare?
• ¿Puedes caminar a través de una pared sólida (probabilidad de túnel distinta de cero debido a la mecánica cuántica)?

Veo que la gente en este sitio en su mayoría parece pensar que simplemente se pueden multiplicar números para obtener probabilidades y, por lo tanto, la respuesta es que la probabilidad es algo de orden.$10^{-10^{25}}$.

El problema con esto es que los eventos de decaimiento no son eventos completamente independientes, por lo que este método de cálculo es incorrecto. Está bien como una primera aproximación MUY aproximada, y la respuesta ciertamente será un número diminuto, pero la respuesta no será este número diminuto en particular. Verá leyendo por qué puse el segundo "muy" en mayúsculas.

Hay efectos cooperativos en toda la física. Por ejemplo, en el sólido en descomposición, las partículas emitidas por cualquier núcleo perturbarán a los demás. Este es un efecto diminuto, pero cuando estamos considerando eventos de probabilidad diminuta, tenemos que pensar en efectos tan diminutos. Otro factor es el campo electromagnético circundante, que puede estar en un estado térmico, pero incluso en su estado de vacío produce efectos correlacionados en toda la muestra. Los campos electromagnéticos casi no tienen efecto en la desintegración radiactiva, pero cualquier cosa que pueda afectar a todos los núcleos a la vez tendrá una influencia no despreciable en comparación con los diminutos números que surgen de cualquier suposición de que todos los núcleos se comportan de forma independiente.

Tengamos una idea aproximada de la influencia de estos efectos cooperativos. Para$n$eventos independientes, cada uno de probabilidad$p_0$, la probabilidad total es$p_0^n$. Pero supongamos que si ocurre un evento, entonces la probabilidad de los demás aumenta un poquito, de$p_0$a$p_1 = p_0(1 + \epsilon)$para algunos muy pequeños$\epsilon$. Si esos eventos adicionales fueran independientes, ahora la probabilidad general es del orden$p_0 p_1^{n-1}$. esto es mas grande que$p_0^n$por la proporción

Ese fue solo un átomo que influyó en los demás. Si cada uno tiene ese tipo de efecto, entonces uno obtiene el$(1 + \epsilon)$factor elevado a una potencia de orden$N_A^2$. Entonces, por este tipo de argumento, el número$10^{-10^{25}}$con el que comencé está mal por un factor que fácilmente podría ser tan grande como$2^{N_A}$. No estoy tratando de establecer la imprecisión con cuidado. Solo digo que el cálculo basado en$N_A$procesos independientes da una respuesta final que es errónea por un factor enorme.

Consideremos a continuación algún tipo de efecto cooperativo tal como una fluctuación en el campo electromagnético suficiente para estimular todos los núcleos, suficiente para pasar la barrera de energía para que el electrón o la partícula alfa o lo que sea pueda escapar. Para perturbar los núcleos se necesitan energías del orden de megaelectronvoltios, mientras que a temperatura ambiente la radiación térmica tiene fotones de energías del orden$k_B T \simeq 0.026$eV. Pero si confiamos en el factor de Boltzmann, entonces podríamos estimar aproximadamente una probabilidad de$\exp(-E/k_B T)$obtener una excitación de un modo de energía$E$. Con$E = 1$MeV que da$\exp(-4 \times 10^7)$a temperatura ambiente. Con "todos estos" fotones de rayos gamma, el proceso de desintegración radiactiva ocurrirá de manera ligeramente diferente. Por supuesto, esta probabilidad es nuevamente pequeña, pero es mucho mayor que$10^{-10^{25}}$, por lo que debe tenerse en cuenta antes de anunciar que ese último número está incluso cerca de la derecha. Esto se debe a que incluso la cantidad más pequeña de cualquier tipo de correlación o efecto cooperativo será suficiente para superar la probabilidad de múltiples eventos independientes.

Se podría estimar el efecto de estos rayos gamma térmicos averiguando la sección transversal para el decaimiento estimulado por rayos gamma y haciendo un cálculo de dispersión. No sé la respuesta, pero será enorme en comparación con$10^{-10^{25}}$.

En resumen, la respuesta corta a la pregunta planteada originalmente es "no, eso no puede suceder". La respuesta más larga admite entonces que la física sugiere que existe una probabilidad muy muy pequeña distinta de cero de que pueda suceder, tal como la hay para una serie de otros sucesos extraños. Para el valor de la probabilidad, ningún cálculo rápido puede acercarse al orden de magnitud correcto. Para estimarlo, primero se hace el cálculo del decaimiento independiente para asegurarse de que esa no es la ruta más probable por la que podría suceder. Entonces uno se queda con el problema mucho más difícil de pensar qué tipo de efectos físicos pueden hacer que varios núcleos se desintegren a la vez, y estimarlos. Creo que la respuesta debe ser pequeña en comparación con ese número.$\exp(-4 \times 10^7)$que mencioné anteriormente, pero tengo poca noción de cuál es realmente la probabilidad. Tal vez tan bajo como$10^{-10^{10}}$?

Tal vez sería valioso volver a enfatizar el punto que estoy haciendo. Cuando calculamos escenarios físicos más ordinarios, como un cuerpo que se desliza por una pendiente, un péndulo o un átomo, etc., ignoramos correctamente cualquier efecto insignificante, como la atracción gravitacional de los planetas a años luz de distancia u otras cosas similares, y nos enfocamos en el principal. contribución. De manera similar, en el presente caso, un enfoque correcto simplemente reconocerá como insignificante la contribución a la probabilidad debido a que todos los núcleos se descomponen en el mismo minuto, y se centrará en las probabilidades mucho mayores asociadas con otras formas en que el el resultado puede suceder. Un cálculo que no haga esto es, simplemente, erróneo. Es como afirmar que un tiempo es del orden de 1 femtosegundo cuando en realidad es del orden de 1 petasegundo.

Si queremos entender lo que sucede en los procesos del mundo real, a diferencia de los modelos idealizados, entonces tenemos que pensar en los procesos del mundo real.

Finalmente, quiero volver a enfatizar que los efectos que he mencionado son, de hecho, extremadamente pequeños. Pero en comparación con$10^{-10^{25}}$son enormes

Para que eso suceda en el mundo real, debe comenzar con aproximadamente 3,8 millones de kilogramos de ese material.

Así es como se llega a ese número. Comienza desde la fórmula que conecta la vida media con la cantidad de partículas a lo largo del tiempo.

Ahora reemplazas$N(t)$con lo que te gustaría tener

Para entender esto, necesita ver qué desencadena una descomposición nuclear. La respuesta es un hermoso ejemplo de comportamiento mecánico cuántico. Nada lo desencadena. Es solo que el mundo es fundamentalmente mecánico cuántico y probabilístico.

Todas las demás respuestas de que "no, no hay un evento desencadenante, simplemente sucede, la mecánica cuántica es así" son perfectamente correctas.

¿Qué sucede antes de que un elemento radiactivo se desintegre?

Todo lo que puedes hacer es calcular las probabilidades.

Entonces, la respuesta a su pregunta es que sí, existe una probabilidad distinta de cero de que el material se descomponga en el próximo minuto.

Pero su pregunta es más sobre si existe la posibilidad de que todos los átomos en el material se descompongan simultáneamente en el próximo minuto. Y la respuesta es nuevamente sí, hay una probabilidad distinta de cero para que eso suceda, pero simplemente sucede de modo que la probabilidad es tan pequeña que incluso en escalas de tiempo gigantes como la edad de nuestro universo, hay muy poca probabilidad para nosotros. para observar que eso suceda.

@Nihar tiene una excelente respuesta: es posible, pero con una probabilidad de 1 en$10^{1.94\times10^{25}}$

Ese es un número realmente grande. Cuando usa exponentes que deben representarse con sus propios exponentes, a veces puede ser difícil pensar en lo que realmente significan. para un poco de perspectiva:

• Hay alrededor de$5\times10^{19}$átomos en un grano de arena
• Hay alrededor de$8\times10^{18}$granos de arena en el mundo
• eso es sobre$4\times10^{38}$átomos en toda la arena del mundo
• Hay alrededor de$1.33\times10^{50}$átomos de todo tipo en el mundo
• Hay alrededor de$10^{56}$átomos en el sistema solar
• hay entre$10^{78}$y$10^{82}$átomos en el universo

Utilizando la mayor estimación de$1\times10^{82}$átomos en el universo, hemos pasado solo de un exponente de 19 a 82 comparando un grano de arena y el universo entero. Este exponente es 1,940,000,000,000,000,000,000,000,000.

¿Cuántas pruebas tendríamos que hacer para tener una posibilidad razonable de que esto suceda? La fórmula para calcular las probabilidades de que un evento aleatorio ocurra al menos una vez es$1-(1-P)^y$donde P es la probabilidad$1/{10^{1.94\times10^{25}}}$. No pude encontrar ninguna aplicación que diera resultados sensatos dados valores grandes para y, pero si y = P, entonces las probabilidades se acercan${-(1-e)}/e$a medida que P se hace grande. Eso es alrededor del 63,2%. entonces si lo hacemos$10^{1.94\times10^{25}}$pruebas, hay un 63,2 % de posibilidades de que suceda al menos una vez y un 37,8 % de que no suceda en absoluto.

Entonces, ¿cómo podemos imaginarnos haciendo$10^{1.94\times10^{25}}$juicios?

Si tomamos todos los átomos del universo y los convertimos en paquetes separados de 1 kg de yodo-131, tendríamos aproximadamente$2.2\times10^{57}$de ellos. Extendiéndose sobre el volumen del universo visible ($3.57\times10^{80} m^3$), eso es un paquete cada$1.6\times10^{23}$metros cúbicos, eso es un cubo que tiene 57,000 kilómetros por lado con un paquete de 1 kg de yodo-133 en el centro. La edad del universo se estima en 13.772 millones de años, eso es aproximadamente$7.24\times10^{15}$minutos. Si tomamos todos esos paquetes de yodo-133 y volvimos a realizar nuestro experimento cada minuto (convirtiendo los átomos decaídos nuevamente en yodo-131 para cada prueba) desde el big bang hasta ahora, eso es aproximadamente$1.6\times10^{73}$ensayos individuales.

Ese exponente de 73 no está ni cerca del exponente que necesitamos para lograr un 63,2 % de posibilidades de que suceda. Tendría que haber sobre$2.66\times10^{23}$universos de átomos convertidos en yodo-131 volviendo a ejecutar el experimento cada minuto durante 13.777 millones de años para tener un 63,2% de posibilidades de que suceda al menos una vez.