Dado que una polarización de la onda se describe mediante números complejos, podemos intentar dar un significado geométrico a ese formalismo matemático. Al tener dos ejes diferentes, uno imaginario y otro real, es posible representar el movimiento de la onda en tres dimensiones como el movimiento de 2 ondas en dos planos. Estos dos planos se observan en el espacio tridimensional desde el punto del tercer plano que es perpendicular a los otros dos planos. Este tercer plano es en realidad un plano complejo, desde cuya perspectiva estos dos planos se ven como líneas. Esto también significa que la noción de plano complejo se refiere simplemente al plano que es una construcción auxiliar, sobre el cual se proyectan las coordenadas de un punto en otros dos planos. Las coordenadas en cada plano corresponden a su movimiento en dos dimensiones, descrito paramétricamente, donde uno de los dos parámetros es el tiempo. Esto se puede interpretar matemáticamente como una función donde y=y(x).
Estas dos ecuaciones con dos variables cada una, o las rectas vistas geométricamente, son parte real e imaginaria de un número complejo. Cada parte muestra la proyección bidimensional de una curva en tres dimensiones. Si podemos observar estas dos proyecciones como independientes entre sí, es posible describir esta curva en tres dimensiones. Esto se hace mediante la introducción de la abstracción matemática, un número complejo, donde la parte real e imaginaria son independientes entre sí.
Si nuestra atención se enfoca solo en un punto en este mundo tridimensional, podemos determinar su ubicación a partir de tres coordenadas espaciales. En otras palabras, hay dos ecuaciones que comparten la conexión con el mismo parámetro. La singularidad de ese parámetro surge al establecer el mismo comienzo de ambos sistemas de coordenadas planas en el lugar donde el plano complejo se cruza con otros dos planos. Por tanto, la solución de la ecuación son las coordenadas del punto en el espacio tridimensional (x, y, z). Pero si traemos otra dimensión a un objeto observado, es decir, si hacemos de ese punto una línea (dada algebraicamente como la función con dos variables), obtenemos una nueva cuarta variable o cuarta dimensión. Esa dimensión es el tiempo, desde el punto de vista de un físico.
¿Es correcta esta interpretación geométrica de la descripción de números complejos de la polarización?
Su interpretación es parcialmente correcta. Los números complejos son la superposición de dos variables independientes. En cuanto a las ondas electromagnéticas (EM), consideramos dos componentes de la onda EM que son perpendiculares entre sí. Estos dos componentes no interactúan entre sí, pero ambos son parte de una sola onda. Entonces, el vector de algunos de estos componentes es la magnitud de la onda EM.
El componente complejo (i) de la onda EM no es una dimensión, se usa para evitar confusiones. Podría haberlo escrito en términos de vectores simples, pero estos componentes EM no interactúan entre sí. Puedo presentar numerosos componentes de una onda EM.
f(x)=a(x) + ib(x) + jc(x) + kd(x) + le(x)
La ecuación de movimiento es una ecuación compleja de orden superior. Tengo varios planos complejos y todos son independientes entre sí. La cuarta dimensión existe en la onda EM y es tiempo pero no polarización.