Cuando hacemos matemáticas y proporcionamos modelos que satisfacen una teoría dada, diferenciamos entre modelos estándar y no estándar. Ahora, suponga que es un platónico y cree que los objetos descritos por estos modelos realmente existen.
Ahora bien, ¿serían estos modelos estándar "estándar" por alguna razón pragmática o epistémica? Por ejemplo, podría ser que el modelo estándar de la aritmética sea simplemente el que más nos interese o el que más nos resulte familiar (o quizás el más fácil de trabajar por alguna razón). Podría ser simplemente, como podría sugerir el uso sinónimo de "modelo previsto", algo de lo que tenemos la intención de hablar por varias razones pragmáticas o epistémicas.
Pero también es posible que los modelos estándar sean metafísicamente privilegiados en algún sentido, quizás porque son más fundamentales que los modelos no estándar. David Lewis sugiere este tipo de comprensión cuando esboza su solución del problema Plus-Quus (que se encuentra en "Nuevo trabajo para una teoría de los universales"; consulte aquí una breve descripción del problema). Su solución pasa por invocar grados de naturalidad entre las propiedades. Algunas propiedades son perfectamente naturales, estas son las más fundamentales. Sin embargo, otras propiedades pueden ser más o menos naturales que otras. Parte de la teoría de la referencia de Lewis (a veces llamada "magnetismo de referencia") establece que la naturalidad hace que las propiedades sean "imanes de referencia", en el sentido de que --- ceteris paribus---el más natural de un rango de posibles referentes para un predicado es el mejor candidato para referencia y el que tiene más probabilidades de ser referido. Su solución, entonces, es decir que "más" (nuestra función de suma normal) es un mejor candidato para referencia que "quus" (que coincide con nuestra función de suma hasta un número n que nadie ha calculado y luego entrega el resultado 52 para cualquier número > n ) porque es más natural. Así parece que la solución de Lewis privilegia metafísicamente la función matemática (ya que la naturalidad es una noción metafísica). Se podría adoptar una actitud similar hacia los modelos estándar, que ellos (o los conceptos que utilizan) son más naturales que los modelos no estándar.
¿Hay filósofos que hayan discutido explícitamente el estatus metafísico de los modelos estándar? ¿Hay filósofos cuyas opiniones sobre las matemáticas parecen sugerir algo por el estilo?
(Esto tiene más la naturaleza de un comentario a su pregunta que una respuesta, pero es demasiado largo para ser uno).
una. Para complicar su lectura de modelos estándar y no estándar, se podría considerar la línea real. Esto parece eminentemente como un objeto natural; sin embargo, no tiene una noción natural de los infinitesimales. Esto lo hace torpe para los propósitos de cálculo y análisis. Se puede introducir una línea real no estándar que realmente los tenga, y esto se hizo originalmente utilizando modelos no estándar de Robinson.
Así que aquí tenemos un modelo no estándar para introducir características naturales en la línea real. Ciertamente parece que qué modelo es estándar depende de razones epistémicas , pragmáticas o estéticas .
b. Que puede haber modelos estándar y no estándar para alguna teoría es indiscutible, pero ¿podemos ser más precisos al respecto? Podemos, existe la propiedad de categoricidad en la teoría de modelos. Si se cumple, simplemente significa que incluso cuando hay más de un modelo de teoría, de hecho todos son isomorfos, por lo que, en cierto sentido, solo tenemos un modelo. Para una teoría de primer orden esto no es posible. Pero cuando consideramos esto junto con el tamaño del modelo, se puede decir más. Resulta (cuando el lenguaje de la teoría es contable) que todos los modelos de cada cardinalidad son isomorfos.
Entonces podemos ver al menos que el modelo estándar ocupa un lugar privilegiado, es al principio de esta cuenta transfinita, esta escalera de modelos.
La otra cosa interesante que se puede hacer es convertir esta escalera en una línea topologizándola. Esto hace que se parezca mucho a la línea real (excepto, por supuesto, que sigue siendo muy diferente), y luego el modelo estándar está al comienzo de una línea de modelos.
editar
Badiou explora la metafísica de los modelos en su concepto de modelo . Creo que ve un modelo como la representación de un concepto matemático. No puedo decir mucho más que eso.
¿Es la noción matemática de un “modelo estándar” una distinción metafísica o (puramente) epistémica?
La metateoría en la que vive un modelo de un sistema formal no debe confundirse con la metafísica. La estructura pretendida "A" normalmente se da explícitamente en la metateoría. Tenga en cuenta también que el isomorfismo es una noción bien definida en la metateoría. Debido a que "Th(A)" (= el conjunto de fórmulas válidas para A) a menudo no es "computable", tomaremos un subconjunto recursivamente enumerable ("computable") de fórmulas $\Phi$ de "Th(A)" , que captura esencialmente todos los aspectos importantes de "A". Un modelo "B" de $\Phi$ con "Th(B) != Th(A)" será llamado modelo no estándar. También está el caso de un modelo no isomórfico "B" con "Th(B) == Th(A)", pero aun así este no es un "modelo estándar", no lo llamaríamos necesariamente un modelo no-isomorfo. modelo estandar.
¿Hay filósofos que hayan discutido explícitamente el estatus metafísico de los modelos estándar?
¿Qué tal Alfred Teitelbaum o Alfred Horn? (Estos no son filósofos, lo sé). En serio, creo que las nociones de modelo estándar y no estándar surgen por necesidad y no están directamente relacionadas con cuestiones metafísicas. Por otro lado, muchas teorías tienen modelos distinguidos:
Un ejemplo común son los "modelos gratuitos". Este ejemplo está relacionado con la definición de homomorfismos para modelos (especialmente la condición "si R(x_1,...,x_n) entonces R^h(h(x_1),...,h(x_n))"), que modela las relaciones según la semántica de la igualdad.
Como ya señaló otra respuesta, a menudo también se distinguen modelos de cardinalidad mínima.
¿Hay filósofos cuyas opiniones sobre las matemáticas parecen sugerir algo por el estilo?
La cuestión de qué hace que ciertos modelos se distingan o sean menos complejos que otros ciertamente ha llamado la atención. Sin embargo, solo conozco matemáticos (como Kolmogorov) que intentaron proponer respuestas a estas preguntas, pero ni siquiera han leído sus artículos originales.
Rex Kerr
dennis