¿Es la ecuación dada aquí una aproximación de la ecuación real del venturímetro?

El manómetro contiene un líquido de densidad$\rho_m$.

La velocidad$v_1$del líquido que fluye a través del tubo en un área de cuello ancho que se medirá a partir de la ecuación de continuidad (10.10). la velocidad de constitución se convierte en$v_2 = \frac{A_1}{a} v_1$. Luego, usando la ecuación de Bernoullis (10.12) para$h_1 = h_2$, obtenemos:

$$P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (v_1)^2( \frac{A}{a})^2$$ De modo que $$P_1 -P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 [ (\frac{A}{a})^2 -1]$$ Esta diferencia de presión hace que el fluido en el tubo en U conectado en el cuello estrecho se eleve en comparación con el otro brazo. La diferencia de altura se ve como la diferencia de presión. $$P_1 - P_2 = \rho_m gh= \frac{1}{2} \rho (v_1)^2 [ (\frac{A}{a})^2 -1]$$ Por eso, $$v_1 = \sqrt{\frac{2ghρ_{m}}{ρ(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$ dónde$ρ_{m}$es la densidad del mercurio y$ρ$es la densidad del líquido en el Venturímetro.

El problema que tengo con esta derivación es la suposición de que no hay diferencia de presión entre el fluido y el medidor venturi. Intenté explicarlo en una derivación que hice yo mismo y obtuve una respuesta diferente:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2gh(\frac{ρ_{m}}{ρ}-1)}{(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$

dónde$ρ_{m}$es la densidad del mercurio y$ρ$es la densidad del líquido en el Venturímetro.

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Mi derivación:

1. Ecuaciones de presión:

Las presiones son iguales en ambos brazos a una altura$h_1$por cada brazo, y esa presión la etiqueto como P. Let Presión en altura$h_2$por el brazo derecho ser$P^{'}$

Obtenemos estas tres ecuaciones siguientes:

$$P_A + ρgh_1 = P$$

entonces podemos reescribir esto como

$$P_A = P - ρgh_1$$

similarmente,

$$P_B + ρgh_2 = P^{'}$$

y

$$P^{'} + ρ_{m}gh = P$$ dónde$h = h_{1} - h_{2}$

Usando las ecuaciones anteriores, podemos aislar para$P_A$y$P_B$en términos de presión y altura:

$$P_A = P - ρgh_1$$

$$P_B = P - ρgh_2 - ρ_{m}gh$$

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2. Sustituyendo las ecuaciones de presión en la ecuación de Bernoulli

Ecuación de Bernoulli bajo la altura constante de la tubería:

$$P_A + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = P_B + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

con sustituciones de ecuaciones derivadas en la primera sección,

$$P - ρgh_1 + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = P - ρgh_2 - ρ_{m}gh + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

al simplificar obtenemos

$$-ρgh_1 + \frac{1}{2}ρv_{1}^{2} = - ρgh_2 - ρ_{m}gh + \frac{1}{2}ρv_{2}^{2}$$

Y con algo de álgebra extra,

$$(ρ - ρ_{m})gh = \frac{1}{2}ρ(v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$$

Aquí$v_{2}$se puede equiparar a$\frac{A_{1}v_{1}}{A_{2}}$(del Principio de continuidad)

esto entonces nos da:

$$(ρ - ρ_{m})gh = \frac{1}{2}ρv_{1}^{2}(1 - \frac{A_{1}^{2}}{A_{2}^{2}})$$

Al reorganizar, obtenemos:

$$v_1 = \sqrt{\frac{2gh(\frac{ρ_{m}}{ρ}-1)}{(\frac{A_{1}^2}{A_{2}^2}-1)}}$$

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El problema:

Lo que hice de manera diferente fue que consideré incluso la diferencia de presión debido al líquido entre el mercurio y el Venturímetro. Después de eso, simplemente apliqué la ecuación de Bernoulli...

Mi pregunta es si la derivación en mi libro, sin mencionarlo, ha tomado una aproximación que$ρ <<<ρ_{m}$? Porque al hacerlo se obtiene la ecuación correcta, pero no estoy seguro de si es eso o si me equivoqué en otro lugar...

Un poco más de confusión: digamos que toma las densidades de los 2 líquidos (en este caso igual al mercurio) como iguales, en el caso de la ecuación derivada en el libro, obtiene la misma ecuación que obtendría en el caso de un abierto ( al aire) Venturímetro basado en manómetro, como se muestra aquí , que proporciona un valor de velocidad distinto de cero. Pero hacerlo en mi ecuación me da un valor de velocidad igual a cero. Entonces, ¿ambas ecuaciones siguen siendo correctas? Si no, ¿cuál está mal y qué está mal? –

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Referencias: Página -260, Ncert Physics Class-11 part-2

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¡Cualquier ayuda en esto es muy apreciada!