¿Es el principio de superposición un postulado en electrostática?

Considere dos cargas puntuales eléctricas q 1 y q 2 descrito por la distribución de carga total ρ = ρ 1 + ρ 2 = q 1 d ( r → − r 1 → ) + q 2 d ( r → − r 2 → ) . Entonces, el potencial eléctrico total podría calcularse mediante

ϕ ( r → ) = 1 4 π ε 0 ∫ V ρ ( r ′ → ) | r → − r ′ → | d 3 r ′ = 1 4 π ε 0 ∫ V ρ 1 ( r ′ → ) | r → − r ′ → | d 3 r ′ + 1 4 π ε 0 ∫ V ρ 2 ( r ′ → ) | r → − r ′ → | d 3 r ′ = ϕ 1 + ϕ 2
como solución de la ecuación de Poisson, que se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell.

Desde mi → = − ∇ ϕ y el operador gradiente es lineal tenemos

mi → = − ∇ ϕ = − ∇ ( ϕ 1 + ϕ 2 ) = − ∇ ϕ 1 − ∇ ϕ 2 = mi 1 → + mi 2 →
lo que afirma el principio de superposición. El principio de superposición a veces se denomina postulado en electrostática. ¿Pero no podría ser "derivado" de esa manera?

Uno no puede derivar nada en física, uno puede, en el mejor de los casos, dar formulaciones diferentes pero equivalentes que describen las observaciones igualmente bien.
Hay muchas opciones diferentes de postulados con los que puede comenzar. Como descubriste, las ecuaciones de Maxwell son suficientes para darte todo lo demás. También puede comenzar con una mayor cantidad de postulados más simples, posiblemente incluyendo el principio de superposición.
Pero no conozco ningún libro de texto moderno que haga esto. ¿Puede dar un ejemplo de su afirmación?
Sí, es un postulado empírico con el que uno comienza, que finalmente se confirma al escribir el conjunto completo de ecuaciones de Maxwell y darse cuenta de que son lineales pase lo que pase.
@knzhou: la línea de argumentos anterior no se tomó de un libro de texto, ha sido más bien mi propia idea. Entonces, si no asume las ecuaciones de Maxwell como postulados, ¿tiene que incluir el principio de superposición en ese conjunto de postulados más simples?

Respuestas (3)

¿Pero no podría ser "derivado" de esa manera?

No, porque su declaración inicial ρ = ρ 1 + ρ 2 , asume el principio de superposición. Por lo tanto, usar su derivación para justificar el principio de superposición sería un razonamiento circular.

Los principios, por su propia definición, no se derivan. En cambio, los evaluamos empíricamente con experimentos. Las teorías se construyen entonces sobre estos principios. No hay una razón teórica por la que las densidades de carga deban agregarse linealmente (al menos, no que yo sepa), tal vez en un universo diferente no lo hagan.

Es ρ = ρ 1 + ρ 2 no como una definición de la "densidad de carga total" como suma de las densidades individuales? ¿O al revés es el principio de superposición de campos eléctricos equivalente al hecho de que la densidad de carga total es igual a la suma de las densidades de carga individuales?
El hecho de que las cargas sumen en primer lugar supone el principio de superposición. No estoy seguro de cuál es más fundamental y, por lo tanto, no estoy seguro de qué forma es mejor pensar en ello. Por un lado, es convencional pensar que la carga produce campos eléctricos, pero por otro lado, solo sabemos que existe carga porque medimos su campo eléctrico. Si concede, por principio, que uno es cierto, entonces el otro sigue de cerca, como lo demuestra su excelente derivación :)
¿Cómo la suma de dos cargas requiere el principio de superposición? La última es una propiedad de la propagación de campos, la primera es simplemente sumar dos cosas para tener el total.
Buena pregunta. Tal vez he entendido mal la definición precisa del principio de superposición. Pero dado que las densidades de carga/carga se suman linealmente, y usando las ecuaciones de Maxwell, puede llegar a los campos con una transformación lineal. ¿No lleva uno al otro? Si es así, entonces es una cuestión de dónde exactamente a lo largo del proceso entra en juego el principio de superposición. Finalmente, en un sentido más general, el principio de superposición simplemente establece que para los sistemas lineales, la cantidad resultante es la suma de las cantidades individuales. Seguramente ρ = ρ 1 + ρ 2 es un ejemplo de esto?

Las ecuaciones de Maxwell contienen la electrostática como caso especial y son lineales, por lo que la linealidad de la electrostática en el campo eléctrico ya está contenida en las ecuaciones de Maxwell. Veo la linealidad en el campo eléctrico como consecuencia de F → = q ⋅ mi → (dónde F → es una fuerza, q el cargo y mi → el campo eléctrico) y el hecho de que las fuerzas (vectores de fuerza) simplemente se suman para dar la fuerza total.

Las ecuaciones de Maxwell para la electrostática son ∇ ⋅ D → = ρ , ∇ × mi → = 0 . El segundo te dice que hay un campo potencial ϕ generar campo eléctrico como mi → = − ∇ ϕ .

Ambas ecuaciones son lineales, significa que si hay ρ 1 , ρ 2 satisfactorio ∇ ⋅ D → 1 = ρ 1 y ∇ ⋅ D → 2 = ρ 2 , entonces ρ = ρ 1 + ρ 2 debe sostener ∇ ⋅ ( D → 1 + D → 2 ) = ρ . La ecuación con la circulación es trivial.

El hecho importante aquí es que la teoría se construye sobre las ecuaciones de Maxwell, no sobre su consecuencia. mi → = − ∇ ϕ . La superposición es entonces otra consecuencia de la linealidad de los operadores diferenciales en las ecuaciones (divergencia y circulación). Date cuenta en este punto que la superposición se mantendría incluso si no construyes potenciales.

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