¿Es caótica la ecuación inversa del calor?

Estaba leyendo sobre el flujo de calor, cuando surgió esto. Considere una placa de metal aislada que se haya calentado localmente en una pequeña región y se haya dejado evolucionar a partir de entonces. En algún momento posterior t, medimos la temperatura T ( X , y , z ) para todo el punto PAG ( X , y , z ) en la placa metálica. Esto constituye nuestras condiciones iniciales para el sistema. Deseamos simular un flujo de calor inverso con estas condiciones iniciales. ¿Es este sistema caótico? Es decir, ¿supone que una pequeña variación en el conjunto de temperaturas iniciales (causadas por errores de medición) conducirá a una gran diferencia en la simulación del estado del sistema en algún momento anterior?

ecuación de calor, ∂ t V = ∂ X 2 V , es fácilmente reversible en el tiempo, ¿no?
no lo se exactamente Justifica tu opinión por favor. El laplaciano es básicamente una instrucción de promedio que se repite con el tiempo en todo el plato. Dado un valor promedio en un punto, existe una infinidad de distribuciones justo antes, lo que puede conducir a ese valor (¿no?). Por lo tanto, estaba pensando que esta simulación inversa podría comportarse de una manera divertida.
Pues que le pasa a la pde cuando t → − t ? ¿Qué sucede con su esquema de diferencias finitas?
@KyleKanos: Para t → ∞ , debemos tener equilibrio térmico. Entonces, obviamente no es reversible en el tiempo (también vea mi respuesta).
@Wrzlprmft sí, estoy de acuerdo en esa parte, pero ¿qué pasa con t ≪ τ dónde τ es el tiempo de equilibrio? Sigo pensando que sería reversible en el tiempo (y me parece recordar haber hecho algunos modelos mostrando tanto en algún momento)
@KyleKanos: Aún tendrías la dirección del tiempo dada por la entropía. Dada la naturaleza del proceso, la entropía debería aumentar significativamente en todo momento.

Respuestas (2)

Esto se analiza en esta lección y en esta pregunta de MathSE . La solución de tiempo inverso solo existe para funciones iniciales muy suaves y puede (¿debe?) "explotar" (creo que esa es la terminología matemática) en un tiempo finito.

En el comportamiento "caótico" generalmente consideramos situaciones en las que existen soluciones a largo plazo en una vecindad de (la mayoría) de las condiciones iniciales. No creo que esto sea un ejemplo.

Nota: Cuando hablo de las condiciones iniciales, me refiero al problema del avance del tiempo. No creo que mi respuesta sea inteligible de otra manera.

Obviamente, por t → ∞ , su placa se acercaría al equilibrio térmico y, por lo tanto, todos los puntos tendrían la misma temperatura, independientemente de la ubicación del calentamiento local. Ahora, durante un tiempo finito lo suficientemente alto, puede acercarse arbitrariamente al equilibrio. Asumiendo que la solución del problema inverso es única (algo que mi intuición duda), puedes encontrar estados arbitrariamente cercanos que corresponden a estados iniciales totalmente diferentes.

Sin embargo (todavía suponiendo una solución única), la dinámica (hacia adelante o invertida) carece de otra propiedad crucial del caos, a saber, la mezcla topológica. El sistema no vuelve a estados cercanos a su estado inicial. Si este fuera el caso, habría que observar la dinámica para pasar de:

  • algo cercano al equilibrio térmico para
  • un punto de calor localizado para
  • algo cerca del equilibrio térmico
  • etcétera.

Esto obviamente viola la segunda ley de la termodinámica.

¿Es caótica la ecuación inversa del calor?
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