Equilibrio angular en un balancín

Si el balancín cuelga del punto de pivote, en equilibrio tendríamos la siguiente situación:

La longitud total de la viga es$2L$y está unido al punto de pivote$P$en el centro de la viga. También asumiré que el centro de gravedad del sistema está en$O$($mg$es el peso total del sistema: viga más$PO$) y que la distancia entre$O$y$P$es$D$.

Tres pares con los siguientes valores absolutos actúan sobre$P$:

$$|T_1|=F_1(L \cos \theta-D \sin \theta)$$ $$|T_2|=F_2(L \cos \theta+D \sin \theta)$$ $$|T_3|=mg D\sin \theta$$ En equilibrio: $$\Sigma T=0=|T_1|-|T_2|-|T_3|$$ $$F_1(L \cos \theta-D \sin \theta)-F_2(L \cos \theta+D \sin \theta)-mg D\sin \theta=0$$ $$(F_1-F_2)L\cos \theta=(F_1+F_2+mg)D\sin \theta$$ $$\tan \theta=\frac{F_1-F_2}{F_1+F_2+mg}$$ Tenga en cuenta que si partimos de $\theta \neq \theta_{equilibrium}$, entonces hay un par neto, digamos $T(\theta)$.

La ecuación de movimiento se convierte entonces en:

$$T(\theta)=I\frac{d^2\omega}{dt^2}$$ Dónde $I$es el momento de inercia del sistema con respecto al punto $P$y $\omega$la velocidad angular del CoG del sistema sobre $P$. Esa es la ecuación de movimiento de una oscilación y para ángulos pequeños $\theta$de una oscilación armónica simple. Entonces, el sistema no se moverá simplemente hacia el equilibrio, sino que oscilará alrededor de él.

En un entorno SIN FRICCIÓN, el sistema girará en la dirección del lado con mayor torsión hasta que el brazo quede ubicado directamente debajo del pivote y el otro brazo esté directamente encima del pivote. En ese momento, no hay momento de torsión neto sobre el pivote y el sistema volverá a estar en equilibrio.

Torque = Fuerza aplicada x Distancia desde el pivote

Utilice este artículo de la NASA como referencia. Lea la parte en cursiva en la parte inferior con mucho cuidado. No se considera FRICCIÓN en el pivote.

La simulación de Phet incluye algo de fricción en el pivote. También he creado una versión similar pero mejor de Balance and Torque Simulation en HTML5.

Parece que el pivote está ligeramente desplazado del centro de masa de la viga. Si el centro de masa de la viga se desplaza ligeramente por debajo del pivote en cierta distancia$D$, luego elija el pivote como el centro de masa y calcule el par a partir de ese pequeño desplazamiento a medida que cambia el ángulo del haz. La fuerza$g\, M$del centro de masa es hacia abajo, y se mueve hacia la derecha por$D \sin \theta$cuando el haz se inclina en ángulo$\theta$, entonces el torque debido a eso es solo$g\, M\, D \sin \theta$.

El torque de la masa de 5 kg debe ser igual y opuesto. Si la masa más pequeña$m$es una distancia$d$desde el centro de la viga, entonces el par es aproximadamente$g\, m\, d \cos\theta$-- o más precisamente$g\, m\, \sqrt{d^2 + D^2} \cos [\theta + \arccos(D/\sqrt{d^2 + D^2})]$. Para obtener la segunda forma aquí, solo usa la magnitud de la fuerza ($g\, m$) veces la distancia entre el pivote y donde se aplica esa fuerza ($\sqrt{d^2 + D^2}$, que es la hipotenusa del pequeño triángulo de catetos$d$y$D$) veces el seno del ángulo entre$\vec{r}$y$\vec{F}$-- o equivalentemente el coseno de$90^\circ$menos ese ángulo. Ahora, cuando el haz está nivelado, ese ángulo es$90^\circ - \arccos(D/\sqrt{d^2 + D^2})$, que puedes ver mirando ese triángulo nuevamente. Y a medida que inclina el haz, solo aumenta el ángulo (disminuye el par).

También quiero agregar un comentario más general sobre el torque. Los cálculos con torque son realmente fáciles (especialmente en equilibrio), pero los estudiantes con frecuencia olvidan lo más importante que deben hacer en dichos cálculos: elegir un origen y apegarse a él. Puede elegir cualquier origen y el cálculo debería salir bien. Solo asegúrese de usar el mismo origen para todos los torques que use.

Aunque cualquier origen debería funcionar, hay un pequeño truco para elegir el origen que puede facilitar las cosas. Dependiendo de dónde elija su origen, ciertas cosas difíciles de calcular pueden cancelarse. Ahora, recordando que el torque es$\vec{r} \times \vec{F}$, querrá elegir un origen donde$\vec{r}=0$para alguna fuerza, o la fuerza es perpendicular a$\vec{r}$, para tantas fuerzas como sea posible.

En su ejemplo, elegir el origen en algún lugar a lo largo de la viga hace que sea al menos más fácil calcular los ángulos. Una elección natural sería en el punto de pivote, porque$\vec{r}=0$para esa fuerza, por lo que no habría fuerza del pivote. Pero también podría elegir el origen en la ubicación de la masa, en cuyo caso necesitaría la fuerza del pivote.

Ahora, puede que le preocupe que no tenga información sobre la fuerza ejercida por el pivote. Pero puedes hacer otra ecuación que te lo diga. La suma de los momentos de torsión debe ser cero en equilibrio, pero la suma de las fuerzas también debe ser cero en equilibrio. Esto parece una forma más difícil de resolver el problema en este caso particular, pero hay otros casos en los que puede ser útil.