Epistemología de conjuntos infinitos

Estoy de acuerdo con la respuesta anterior, pero abordaré el problema desde otro punto de vista.

Sea S un conjunto finito de cardinalidad = n ;

claramente, con n "pequeño, no tenemos ningún problema para "sostener epistémicamente" (¿imaginar? ¿visualizar?)

No estoy seguro acerca de un conjunto S con n = 3567 elementos.

Por supuesto, un conjunto S con n = 6665734529976967438675338965633321266643790584532111111 elementos está bastante lejos de ser "fácil de mantener".

Considere ahora el conjunto N que incluye un elemento "inicial", llámelo 0 , y para cada elemento n , incluye también su "sucesor", llámelo S(n) .

Hemos "especificado" de forma fácil y comprensible el conjunto N de los números naturales , que tiene infinitos (exactamente: muchos contables) elementos.

El concepto básico de una posibilidad ilimitada de iteración , que es el "núcleo" del infinito potencial, es mucho más fácil de comprender que un nombre finito "muy, muy grande".

¿Qué hay de alef-uno ?

Suponiendo que es igual a c , aquí tenemos que partir de la llamada línea real ; ¿Cuál es el papel de una magnitud "continua" en nuestro pensamiento? ¿Lo necesitamos "solo" dentro de las matemáticas?

Para números bajos confiamos en nuestra comprensión física. Puedo ver tres vasos y puedo lanzar 5 pelotas de cricket. Para números altos esto no es posible y otras capacidades toman el control. Considerar:

678

1256745

El segundo número es mucho más grande que el primero. Pero no tengo ninguna apreciación física de este hecho. (Es posible aumentar esto mediante la formación en física cuantitativa); pero aquí es mucho más simple ya que podemos confiar en el mismo paradigma de números bajos que antes. En realidad, no veo el número físicamente, pero veo rápidamente que el segundo tiene más dígitos que el primero. Ahora consideremos lo siguiente:

3567

6665734529976967438675338965633321266643790584532111111

El segundo es mucho más grande que el primero, ahora leer el número de dígitos es algo que no se puede hacer de un vistazo, pero viéndolo geométricamente, uno puede juzgar que el segundo es quizás diez veces más largo .

En la práctica, uno tiene que considerar que los números grandes son bastante inútiles. Después de todo, solo hay partículas en el universo por valor de Google. Uno puede escribir este número: 1 con cien ceros después. La mayoría de las veces tratamos con números bastante pequeños: 6, 30, tal vez 500,000. Por lo tanto, para la mayoría de las personas, durante la mayor parte del tiempo, todo lo que se requiere es una comprensión bastante primitiva de la cantidad: nada, uno, dos, un poco y mucho.

La imagen se vuelve más clara cuando comenzamos a observar los números cardinales. Aquí no hay esperanza de usar la imaginación física, y lo que uno usa es cómo funcionan dentro del cuerpo de las matemáticas, es decir, por los enunciados que la usan y son entendidos por ella. En terminología sausseariana lo entendemos estructuralmente . Eso es por un elemento en un todo, y sus relaciones. Se podría desarrollar a partir de aquí, supongo, una epistemología estructural de la cantidad.

¿En qué sentido [disminuye] nuestra comprensión epistémica de los conjuntos? ¿y por qué? ¿Qué característica de los conjuntos limita nuestra capacidad para conocerlos?

Creo que con algo de formación en matemáticas (nivel universitario), tratar con conjuntos infinitos de diferentes maneras se vuelve bastante natural. Es obvio que cualquier mente humana solo puede comprender cosas finitas, así que en lugar de intentar comprender una cosa infinita, razonas sobre una descripción finita de cómo construirla. Luego usas esta construcción finita para razonar sobre el conjunto.

Por ejemplo: en lugar de tratar de mantener en tu cabeza cuáles son los números reales, simplemente consideras los reales como la terminación de los números racionales. Entonces, aunque los números reales tienen una cardinalidad mucho mayor, comprender esa cardinalidad no tiene por qué ser mucho más difícil.

El mejor ejemplo de algo que parece escapar al razonamiento humano sobre los conjuntos es la Hipótesis del Continuo : si existe un conjunto cuyo tamaño es mayor que el de los números enteros pero menor que el de los reales.

Ahora sea P un conjunto infinito numerable (como N), se vuelve más difícil pensar que puedo contener simultáneamente todos los elementos de N, parece que conozco el conjunto de números naturales menos que uno de sus subconjuntos.

Pero eso es cierto para todos los objetos, físicos O abstractos. Supongamos que tengo en mi mano una piedra. Tengo una experiencia física directa de la roca... su tamaño, peso, textura y apariencia visual.

Pero no tengo conocimiento ni experiencia alguna de los átomos, quarks, gluones, cuerdas, etc. que forman la roca. Hay partes de la roca que los físicos aún no han descubierto.

¿Es esto un problema epistemológico? No me parece. Para saber una cosa, no necesito saber todas sus partes. Sé sobre China, aunque no conozco a todos y cada uno de los ciudadanos de China por su nombre.

Tienes razón en que tenemos una intuición de N. Pero no tenemos una experiencia directa de todos y cada uno de los números 1, 2, 3,..., y mucho menos de cada elemento del conjunto potencia incontable de N.

Pero como digo, esto no es diferente a cualquier otra cosa que conozco. Sé que el sol saldrá mañana por la mañana; pero no tengo una experiencia directa de todos y cada uno de los fotones que enviará en mi dirección.