entropía de entrelazamiento topológico para un toro perforado y una esfera

En ausencia de cualquier respuesta, permítanme tratar de dar una respuesta rápida.

Estoy un poco confundido acerca de por qué dice que la entropía de entrelazamiento topológico (TEE) generalmente se calcula en superficies con límites. Puede, y creo que esto es lo que se suele hacer, calcularlo en variedades compactas. Un límite siempre estará presente ya que necesita hacer una bipartición de la variedad para calcular la entropía de entrelazamiento (EE). Si realmente hizo el cálculo de una variedad con límite, los grados de libertad sin espacios en el límite podrían causar algunos problemas para extraer el TEE. Permítanme tratar de describir brevemente lo que sucede en diferentes situaciones.

Suponga que coloca un sistema con un espacio por encima del estado fundamental, en una variedad bidimensional (ya sea compacta o no compacta sin límite)$\mathcal M$y luego cortar$\mathcal M$en dos subvariedades contráctiles$\mathcal A$y$\mathcal B$. Dada la matriz de densidad reducida del estado fundamental en el subsistema$\mathcal A$,$\rho_\mathcal A$(dada rastreando la información en$\mathcal B$), la entropía de entrelazamiento viene dada por$S_\mathcal A = -\text{tr}\left(\rho_\mathcal A\log\rho_\mathcal A\right)$. Como lo muestran Preskill-Kitaev y Levin-Wen (como usted cita), EE tiene la siguiente forma

$$S_\mathcal A = \alpha L_\mathcal A - \gamma + \dots,$$ dónde $\alpha$es un número no universal, $L_\mathcal A$es el área límite $\partial\mathcal A$, y ' $\dots$' son términos que se desvanecen en el límite $L\rightarrow\infty$. La pieza de las constantes, $\gamma$, es universal y lo llamamos el TEE. Está determinado puramente por datos topológicos. $$\gamma = \log\mathcal D =\log\sqrt{\sum_id^2_i},$$ dónde $d_i$es la dimensión cuántica de la $i$'th cuasipartícula topológica y $\mathcal D$es la dimensión cuántica total. Si este cálculo se realiza en el límite de la teoría de campo puramente topológica en el infrarrojo, solo sobrevivirá la pieza topológica. Si en cambio uno calcula las entropías de Renyi, $S^n_\mathcal A = \frac 1{1-n}\log\left({\text{tr}\rho^n_\mathcal A}\right) = \alpha_n L_\mathcal A - \gamma +\dots$, la pieza topológica será independiente de $n$y no se obtuvo nueva información.

1. Esta es toda la historia estándar, como se menciona en los documentos que cita. Cabría preguntarse ¿qué sucede si la bipartición no es contráctil? Por ejemplo, di$\mathcal M=T^2$es el 2-torus y le haces un corte tal que$\mathcal A$no es simplemente conexo (ver figura 1 de la ref. 1 ). En este caso resulta que la pieza topológica,$\gamma_n'$, en la entropía de Renyi $$S^n_\mathcal A = \alpha_nL_\mathcal A - \gamma_n' + \dots,$$ será además$\gamma = \log\mathcal D$, depender de$n$y los coeficientes$c_j$del estado fundamental en una base especial$|\Phi\rangle = \sum_jc_j|\Theta_j\rangle$. Para ver la fórmula detallada, consulte la ecuación (2) en la referencia 1 y la ecuación (2.38) de la referencia. 2 . Los estados básicos$|\Theta_i\rangle$se denominan estados de entropía mínima (MES), consulte 1 para obtener una definición detallada.
2. Ahora que pasa si$\mathcal M$es un colector pinchado? Dando las condiciones de contorno apropiadas, estos pinchazos corresponden esencialmente a cuasi-partículas. Así, en este caso, estamos calculando la entropía de entrelazamiento en presencia de excitaciones. Aquí resulta que, dependiendo de la partición particular, el resultado dependerá de varios componentes de la topológica$\mathcal S$-matriz. Esto significa que de esta manera, podemos extraer mucha más información topológica del TQFT subyacente que solo la dimensión cuántica total. Para obtener más información, consulte la sección 3 de 2 .

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EDITAR: En los comentarios, Hamurabi hace la interesante pregunta de qué sucede en dimensiones superiores. Permítanme mencionar brevemente la propuesta de ref 4 :

Bajo ciertas suposiciones generales, uno puede escribir el EE (Von Neumann) como la suma de dos piezas

$$S_\mathcal A = S_{\mathcal A,local} + S_{\mathcal A,topological},$$

donde el primer término depende de la información local del sistema, mientras que el último codifica la pieza de entrelazamiento topológica global. Argumentan, que la pieza local en dimensión$D$tiene la siguiente expansión

$$S_{\mathcal A,local} = \alpha_1L_\mathcal A ^{D-1} + \alpha_3L_\mathcal A^{D-3}+\alpha_5L_\mathcal A^{D-5} + \dots,$$ donde todos $\alpha_i$'s no son universales. Tenga en cuenta que en $D$incluso, $S_{\mathcal A,local}$no tiene ninguna pieza constante y ninguna pieza constante de $S_\mathcal A$por lo tanto, debe ser topológico (como en $D=2$). Para $D$extraño, sin embargo, puede haber una pieza constante no topológica y, por lo tanto, hacer que sea un poco más difícil de extraer $S_{\mathcal A,topological}$. Proponen (y comprueban en varios ejemplos) la siguiente forma general del TEE

$$S_{\mathcal A,topological} = \begin{cases}-\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 - \dots -\gamma_{\frac D2-1}b_{\frac D2-1}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is even},\\ -\gamma_0 b_0 - \gamma_1 b_1 + \dots -\gamma_{\frac {D-3}2}b_{\frac {D-3}2}, \qquad &\text{if}\; D\; \text{is odd}, \end{cases}$$ dónde $b_i$es el $i$'th número de Betti de la variedad $\partial A$. Por ejemplo, la expresión general en $D=2$es $S_\mathcal A = \alpha_1 L_\mathcal A - b_0\gamma_0$, donde el número cero de Betti $b_0$solo cuenta el número de componentes conectados de $\partial A$. Note que para $D=2,3$¡solo hay un tipo de ETE, mientras que hay varios en dimensiones superiores!

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Referencias:

[1] Zhang et al, Estadísticas de cuasipartículas y trenzado de física de entrelazamiento del estado fundamental. Rev.B 85, ​​235151 (2012 ), arXiv:1111.2342

[ 2 ] Dong et al, Entropía de entrelazamiento topológico en las teorías de Chern-Simons y Quantum Hall Fluids JHEP05(2008)016 , arXiv:0802.3231

[ 3 ] Hikami, Teoría de la madeja y registros cuánticos topológicos: Matrices de trenzado y entropía de entrelazamiento topológico de estados de pasillo cuánticos no abelianos arXiv:0709.2409

[4] Grover et al, Entropía de entrelazamiento de fases separadas y orden topológico en tres dimensiones física. Rev.B 84, 195120 (2011) , arXiv:1108.4038

Me gustaría abordar aquí una posible complejidad para la variedad con límite, como los pinchazos en la variedad. Lo primero que hay que preguntarse es si los estados de borde son sin espacios o con espacios. La situación puede ser diferente. Aquí permítanme decir algo sobre el caso del límite con brechas. Recientemente se ha estudiado:

• utilizando un lenguaje de categorías de tensores en el orden topológico con límites separados (es decir, los estados de borde están separados) por A.Kitaev y L.Kong 1104.5047 .

• utilizando QFT topológico (TQFT) para comprender la propiedad del orden topológico con límites separados. Tales J.Wang y XGWen 1212.4863 y A.Kapustin 1306.4254 y Ref en el mismo.

Como lo discutieron Heidar y Hamurabi, Entropía de entrelazamiento topológico (TEE)$S_{TEE}=-\log D$. Pero más explícitamente, podemos escribir, al menos para el orden topológico abeliano,

$$D=e^{-S_{TEE}}= \text{quantum dimension of the system}\\ = \text{number of quasiparticle types of the system}\\ =\text{ground state degeneracy(GSD) of the system on a $T^2$ torus}$$

esto nos dice$D$está relacionado con la degeneración del estado fundamental (GSD) del sistema en el toro. Hay una imagen intuitiva que usa string-net o la línea de Wilson (operador de línea) de cuasipartículas (anyons) para contar este GSD, por lo tanto, el TEE. Uno puede preguntarse si el GSD de orden topológico puede depender de la variedad con límites separados.

La respuesta es un sí absoluto. Tomemos una esfera con dos pinchazos. Se encuentra, en 1212.4863 ,$Z_2$tórica($Z_2$teoría de calibre) el código tiene GSD = 2 o GSD = 1 dependiendo de los tipos de límites separados, mientras que$Z_2$semiones duplicados (giro$Z_2$teoría de calibre) tiene GSD = 2 independientemente de los tipos de límites separados. Se puede volver a utilizar la línea de red de cuerdas o de Wilson de anyons para contar GSD, explicado en 1212.4863 .

Por lo tanto, ¿puede preguntar más si esta propiedad GSD afectará el TEE para la variedad con límites separados?

No nos sorprendería demasiado si efectivamente existe esta posibilidad.

PD. En realidad, hace algunos meses, tuve algunas ideas sobre cómo resolver la entropía de entrelazamiento topológico para este tipo de casos genéricos para la variedad con límites sin espacios/con espacios y perforaciones.