Langlands geométricos como una teoría de campo topológica parcialmente definida

Desde el punto de vista de la integral de trayectoria, se puede argumentar por qué la función de partición de la teoría KW no estará bien definida de la siguiente manera.

En el punto del modelo B, la teoría KW se reduce dimensionalmente al modelo B para la pila derivada$Loc_G(\Sigma')$de$G$-sistemas locales en$\Sigma'$. El modelo B para cualquier objetivo$X$se espera que esté dado por el volumen de una forma de volumen natural en el espacio de mapeo derivado de la pila de Rham de la curva de origen$\Sigma$a$X$.

Poniendo esto junto, vemos que la función de partición KW en una superficie compleja$S$se supone que es el "volumen" de la pila derivada$Loc_G(S)$(respecto a una forma de volumen que surge de la integración de los modos masivos).

Ahora vemos el problema: la pila derivada$Loc_G(S)$tiene complejo tangente en aa$G$-sistema local$P$dada por la cohomología de de Rham de$S$con coeficientes en el sistema local adjunto de álgebras de Lie, con un desplazamiento de uno. Esto es en grados cohomológicos$-1,0,1,2,3$.

En otras palabras: los campos de la teoría incluyen cosas como$H^3(S, \mathfrak{g}_P)$en grado cohomológico$2$. Porque está en grado cohomológico$2$, podemos pensar que es un campo par, y luego es una dirección no compacta, por lo que no esperaríamos que converja ningún tipo de integral.

(Por cierto, analizo esta interpretación de la teoría KW en mi artículo http://www.math.northwestern.edu/~costello/sullivan.pdf )

En un TQFT "totalmente definido", los espacios de estados son necesariamente de dimensión finita. Esto se sigue simplemente del hecho de que los correladores asignados al cobordismo de la tapa y la copa (las "funciones de 2 puntos") dotan al espacio de estados con la estructura de un objeto dualizable en la correspondiente categoría monoidal de espacios vectoriales, que son precisamente los objetos de dimensión finita.

De manera similar, en un TQFT n-dimensional extendido "completamente desafiado" (uno "completamente local"), el " n-espacio de estados" asignado al punto es un objeto completamente dualizable .

Pero hay TQFT con espacios de estados no finitos y TQFT extendidos con espacios no totalmente dualizables.$n$-espacio de estados. En el caso de d=2, estos son (algo engañosamente) conocidos como TCFT . Ejemplos famosos son el modelo A y el modelo B. Y el TQFT 4d de Kapustin-Witten se reduce a estos en ciertas compactaciones (ver, por ejemplo , la revisión de Kapustin, páginas 17-18).

Entonces ¿como puede ser esto? La respuesta es que un "TCFT" es un TQFT que, como representación de cobordismo , se define solo en la subcategoría de cobordismos que se denominan "no compactos" o "con límite positivo". En términos generales, esta es simplemente la subcategoría obtenida al descartar el cobordismo de la copa (o la tapa). Esto elimina del TQFT el requisito de tener espacios de estado dualizables, pero por lo demás vende al por menor toda la estructura de un TQFT.

Para un TQFT extendido (uno "totalmente local"), los 2 espacios de estado (aquellos asignados al punto) todavía tienen mucha estructura agradable, incluso sin ser completamente dualizables. Se dice que son objetos Calabi-Yau .

Una discusión detallada de todo esto se encuentra en la sección 4.2 de Sobre la clasificación de TFT de Lurie.

Creo que la teoría de Donaldson tampoco es una TFT 4d estrictamente hablando; después de todo, hay algunas 4 variedades para las que tiene dependencia métrica. ¿No es eso suficiente para violar la letra de la ley?

En ese caso, generalmente se dice que la razón de la falla es cierta falta de compacidad en el espacio del campo (se encuentra esta afirmación, por ejemplo, cerca de la parte inferior de la página 5 de hep-th/9709193 ). Supongo que un problema similar podría afectar al giro Kapustin-Witten de N=4 super Yang-Mills.