Entendiendo el ruido blanco en R2R2\Bbb{R}^2

Question

Entendiendo el ruido blanco en R2R2\Bbb{R}^2

Matemáticas
probabilidad
procesos estocásticos

conrado costa

Se puede definir el ruido blanco gaussiano en $\Bbb{R}^d$ como una distribución en funciones de prueba

ξ (ϕ) \sim norte (0, ‖ ϕ ‖_{L^{2}}) \forall ϕ \in S (R^{d})

$\xi(\phi) \sim N(0, \|\phi\|_{L^2}) \quad \forall \, \phi \in S(\Bbb{R}^d)$

Esta definición es muy abstracta y no parece ser única. Quiero decir, sospecho que hay otra forma de construir un ruido blanco espacial.

empecemos en $\Bbb{R}$ . Aquí podemos pensar en el ruido blanco como la derivada del movimiento browniano. Si arreglas un cierto $\phi$ suavizar el objeto que le interesa es $\int \phi(t) \, dB_t$ . Esto es como si tuvieras una estrategia. $\phi$ por la cantidad de cierta acción en el mercado (el valor de dicha acción está modelado por el movimiento browniano). En este caso el valor $\xi(\phi)$ es el valor de la riqueza que tendrás después de seguir esta estrategia. Esto esta bien.

Podemos pensar que en cada intervalo $I = (a,b)$ hay una variable aleatoria normal $z_I$ con varianza $b-a$ . Estas normales son independientes si los intervalos son disjuntos

¿Cómo llevamos esta forma de pensar a $\Bbb{R}^2$ ?

Mi problema es el siguiente. De manera similar, uno podría simplemente decir que en cada Bloque $(a,b)\times(c,d)$ del plano se tiene una variable aleatoria normal de varianza $(b-a)(d-c)$ . Estas normales son independientes si las regiones son disjuntas. Sin embargo, esto no es tan claro como el caso unidimensional anterior, ya que en $\Bbb{R}$ uno puede de una variable normal $z_{(0,1)}$ definido en $(0,1)$ digamos, construya variables aleatorias independientes $z_{(0,1/2)}$ y $z_{(1/2,1)}$ en $(0,1/2)$ , $(1/2,1)$ tal que

z_{(0, 1 / 2)} + z_{(1 / 2, 1)} = z_{(0, 1)}

$z_{(0,1/2)} +z_{(1/2,1)}= z_{(0,1)}$

Este procedimiento nos permite refinar las normales distribuidas en el espacio.

¿Existe una forma análoga de construir normales en el $(0,1) \times (0,1)$ que son independientes y que sumados dan $z_{(0,1) \times (0,1)}$ ?

Respuestas (1)

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conrado costa · Answer 1

Sí hay.

Basta usar la misma idea en la construcción de Paul-Levy:

dividir el intervalo $[0, 1)$ en los intervalos disjuntos $[0,1/4)$ , $[1/4,2/4)$ , $[2/4,3/4)$ , $[3/4, 1)$ .

Entonces recuerda la construcción como se explica en el libro Movimiento browniano de Yuval y Morters:

Tenga en cuenta que ya hemos hecho esto para $\mathcal{D}_0=\{0,1\}$ . Procediendo inductivamente, podemos suponer que hemos tenido éxito en hacerlo durante algún tiempo. $n-1$ . Entonces definimos $B(d)$ para $d\in\mathcal{D}_n\backslash\mathcal{D}_{n-1}$ por
$B (d) = \frac{B (d - 2^{- norte}) + B (d + 2^{- norte})}{2} + \frac{Z_{d}}{2^{(norte + 1) / 2}} .$ $B(d)=\dfrac{B(d-2^{-n})+B(d+2^{-n})}2+\dfrac{Z_d}{2^{(n+1)/2}}.$ Tenga en cuenta que el primer sumando es la interpolación lineal de los valores de $B$ en los puntos vecinos de $d$ en $\mathcal{D}_{n-1}$ . Por lo tanto $B(d)$ es independiente de $(Z_t:t\in\mathcal{D}\backslash\mathcal{D}_n)$ y se cumple la segunda propiedad.

Además, como $\frac12[B(d-2^{-n})+B(d+2^{-n})]$ depende solo de $(Z_t:t\in\mathcal{D}_{n-1})$ , es independiente de $Z_d/2^{(n+1)/2}$ . Ambos términos se distribuyen normalmente con media cero y varianza $2^{-(n+1)}$ . De ahí su suma $B(d)-B(d-2^{-n})$ y su diferencia $B(d+2^{-n})-B(d)$ son independientes y normalmente distribuidos con media cero y varianza $2^{-n}$ por el Corolario II.3.4.

Para que pueda obtener las variables aleatorias que está buscando y definir para cada conjunto Dyadic $C$ (es decir, para cada conjunto $C$ de la forma $C = \cup_i D_i$ dónde $D_i = [d_i, \tilde d_i) \times [d'_i, \tilde d'_i)$ $D_i \cap D_j = \emptyset$ )

W (C) = \sum_{i : D_{i} \subset C} z_{i}

$W(C) = \sum_{i: D_i \subset C} z_i$

dónde $z_i$ son variables aleatorias normales independientes con media $0$ y varianza $\operatorname{Vol}(D_i)$ .

Esta construcción está bien definida ya que tenemos una compatibilidad en la descomposición de los bloques diádicos que se puede obtener por razonamiento análogo al que hicimos en el caso simple del bloque $[0,1)^2$ .

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conrado costa

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