¿Energía relativista = cuatro fuerzas por desplazamiento de cuatro vectores?

Es bastante fácil ver que si tomas el producto interno del cuadrivector de fuerza con un cuadrivector de desplazamiento, no obtienes una expresión correcta para el trabajo mecánico realizado por la fuerza. Esto se debe a que el producto interno de dos cuatro vectores es un escalar, que es el mismo en todos los marcos de referencia. Pero la energía obviamente depende de tu marco de referencia. Una forma más compacta de expresar esto es que en términos de tres vectores,$\textbf{F}\cdot\textbf{v}$es una expresión para el poder, mientras que en términos de cuatro vectores, esta expresión se desvanece de forma idéntica.

Sin embargo, es cierto que si expresa el trabajo en términos de los tres vectores de fuerza y ​​desplazamiento, el resultado es relativistamente válido y no necesita introducir factores de gamma ni nada por el estilo. Hay una prueba compacta de este hecho (dada aquí en una dimensión):

El resultado deseado se sigue de la aplicación de la identidad$dE/dp=v$.

Para una discusión más detallada de este tipo de cosas, véase el cap. 4 de mi libro SR, http://lightandmatter.com/sr/ .

Para conciliar el cálculo 4D, necesita$(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)$para 4 desplazamientos infinitesimales

Tome las unidades donde$c=1$. es mejor considerar$E=m\gamma$en lugar de$E=m(\gamma-1)$aunque es solo un cambio constante. La norma de Minkowski$(E,p)\cdot (E,p)=E^2-p^2=m^2\gamma^2-m^2 v^2\gamma^2=m^2$es una constante, la masa estática al cuadrado como se esperaba. Entonces el diferencial de eso es idénticamente 0, lo que da$0=2(dE/dt,dp/dt)\cdot(E,p)=2(E\;dE/dt-dp/dt\cdot p).$Entonces llegas a$dE/dt=dp/dt \cdot (p/E)=dp/dt\cdot dx/dt,$lo cual es consistente con$(dE/dt,dp/dt)\cdot(dt,dx)=0$.