Encontrar el número máximo de mosaicos de 70×3070×3070\times 30 que se pueden colocar en un piso de 110×130110×130110\times 130, sin prueba y error

La siguiente pregunta fue hecha en un examen competitivo.

Las baldosas rectangulares de 70 cm por 30 cm cada una deben colocarse horizontalmente sobre un suelo rectangular de 110 cm por 130 cm, de modo que las baldosas no se superpongan. Una loseta se puede colocar en cualquier orientación siempre que sus bordes estén paralelos a los bordes del piso. Ninguna baldosa debe sobrepasar ningún borde del suelo. ¿Cuál es el número máximo de baldosas que se pueden colocar en el suelo?

Solución obtenida por prueba y error, mostrando una respuesta de 6 :

Diagrama de mosaico mejorado

Pero, ¿existe un enfoque basado en ecuaciones o desigualdades (porque no puedo confiar en prueba y error) como

130 ⋅ 110 − 70 ⋅ 30 ⋅ norte < 70 ⋅ 30
norte > 5.8
Entonces, norte es el siguiente entero, entonces 6 , por lo que podríamos obtener la respuesta correcta, pero ¿es correcto el enfoque?

Por ejemplo, si es alguna otra forma que también es de área 130 × 110 = 14300 pero no un rectángulo, no hay garantía de que podamos colocar dentro de él 6 azulejos más pequeños. Por lo tanto, este enfoque no es aplicable en todos los lugares.

Así que guíame para conocer el enfoque correcto. Por favor ayuda. Estoy atascado.

Hay muchas heurísticas y también resultados sobre problemas de empaquetado y mosaico. Pero no hay fórmula general AFAIK. Para estos pequeños casos la imaginación es tu amiga. Contar el área no te dará todo. Para un contraejemplo fácil de entender: ¿cuántas baldosas de 60x60 puedes colocar en un piso de 110x110?
Sea más claro acerca de cuál es su verdadera pregunta.
enfoque para resolver este problema sin prueba y error. Es decir, estoy buscando una solución usando ecuaciones.

Respuestas (1)

El área de todo el piso es 110 ∗ 130 = 14300 . El área de cada mosaico más pequeño es 70 ∗ 30 = 2100 . Por lo tanto, la mayor cantidad posible de fichas para encajar sería 6, como 7 ∗ 2100 > 14300 . Si bien esto no se puede aplicar a todos los diseños de piso posibles, funciona en el dado.

Editar: cuando se generaliza, dado A ∗ B como las dimensiones del piso, y C ∗ d como las dimensiones de cada mosaico, el número máximo de mosaicos teóricamente sería ⌊ A B / C d ⌋ . (Nuevamente, esto no siempre dará el número máximo en la práctica).

Se *utilizan para formatear cursivas y negritas en este sitio web (y en la mayoría de los demás). Debería $…$rodearlo (los números también) para que se represente como MathJax y el asterisco no desaparezca.
Encontrar el número máximo de mosaicos de 70×3070×3070\times 30 que se pueden colocar en un piso de 110×130110×130110\times 130, sin prueba y error
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