Propósitos de los estabilizadores QEC

Estoy pasando por la idea del formalismo estabilizador.

Definido qué es un grupo de Pauli PAG norte y sus propiedades, describimos un conjunto estabilizador S como:

S ⊂ PAG norte

El conjunto estabilizador establece palabras clave válidas para un estado si la ecuación

s | ψ ⟩ = | ψ ⟩ , ∀ s ∈ S ( 1 )
Está satisfecho. Eso significa | ψ ⟩ es un estado propio +1 de s .

Cada palabra clave válida pertenece a V , que es un conjunto de qubits estabilizados por S . Por lo tanto, si ( 1 ) está satisfecho, entonces | ψ ⟩ ∈ V .

Consideremos el código Steane de 7 qubits. Los siguientes son los códigos estabilizadores para dicha codificación:

k 1 = I I I X X X X
k 2 = X I X I X I X
k 3 = I X X I I X X
k 4 = I I I Z Z Z Z
k 5 = Z I Z I Z I Z
k 6 = I Z Z I I Z Z

Estos reducen la 2 7 espacio de Hilbert en un subespacio bidimensional. Estos estabilizadores generan palabras clave válidas para el código Steane:

| 0 ⟩ L ≡ 1 8 ( | 0000000 ⟩ + | 1010101 ⟩ + | 0110011 ⟩ + | 1100110 ⟩ + | 0001111 ⟩ + | 1011010 ⟩ + | 0111100 ⟩ + | 1101001 ⟩ )
| 1 ⟩ L ≡ 1 8 ( | 1111111 ⟩ + | 0101010 ⟩ + | 1001100 ⟩ + | 0011001 ⟩ + | 1110000 ⟩ + | 0100101 ⟩ + | 1000011 ⟩ + | 0010110 ⟩ )

Aquí viene mi duda; Cada estabilizador se utiliza como "filtros de la entrada", por lo que si una entrada, sobre la que se aplican uno o más de esos estabilizadores, no satisface la ecuación ( 1 ) ( | ψ ⟩ -1 valor propio de s ?), entonces podemos decir que ocurrió un error. A través de la medición del síndrome podemos identificar dónde ocurrió el error y corregirlo.

Otro problema: verificar ( 1 ) significa, por ejemplo, k 1 | 1010101 ⟩ = | 1011010 ⟩ . Ya que ambos | 1010101 ⟩ y | 1011010 ⟩ representar | 0 ⟩ L , Nosotros decimos eso ( 1 ) ¿Está satisfecho?

Finalmente: k 4 | 1010101 ⟩ = ?

Gracias.

Último problema agregado:

Circuito cuántico para preparar el estado lógico [[7,1,3]] |0⟩

El estado del sistema está representado por:

| ψ ⟩ F = 1 2 ( | ψ ⟩ I + tu | ψ ⟩ I ) | 0 ⟩ + 1 2 ( | ψ ⟩ I − tu | ψ ⟩ I ) | 1 ⟩

Aplicamos k 1 , k 2 , k 3 a la entrada y medimos los qubits ancilla para verificar la integridad de la entrada (si | ψ ⟩ I es +1 estado propio de k 1 , k 2 , k 3 ). Si la ecuación ( 1 ) no está satisfecho, entonces el qubit corrupto se corrige con un Z puerta abordada por la medición del síndrome de ancilla qubits. ¿Así es como funciona el sistema?

Respuestas (1)

1) Si hay un error mi j , los nuevos estados mi j | 0 ⟩ L y mi j | 1 ⟩ L son vectores propios, con valor propio − 1 , de todos los estabilizadores s j perteneciente a algún subconjunto del conjunto S j de S . (los elementos de S j anticonmutación con mi j ).Este subconjunto S j identifica unívocamente el error mi j .

2) | 0 ⟩ L y | 1 ⟩ L son vectores propios, con valor propio 1 , de todos los estabilizadores s perteneciendo a S (esto no es cierto para los "componentes" de | 0 ⟩ L y | 1 ⟩ L como, por ejemplo, | 1010101 ⟩ ).Para un estabilizador s , solo calculas s | 0 ⟩ L y s | 1 ⟩ L , y compruebas que el resultado es | 0 ⟩ L o | 1 ⟩ L .

Por ejemplo :

k 1 | 0 ⟩ L = ( I I I X X X X ) 1 8 ( | 0000000 ⟩ + | 1010101 ⟩ + | 0110011 ⟩ + | 1100110 ⟩ + | 0001111 ⟩ + | 1011010 ⟩ + | 0111100 ⟩ + | 1101001 ⟩ ) = 1 8 ( | 0001111 ⟩ + | 1011010 ⟩ + | 0111100 ⟩ + | 1101001 ⟩ + | 0000000 ⟩ + | 1010101 ⟩ + | 0110011 ⟩ + | 1100110 ⟩ ) = | 0 ⟩ L

3) k 4 | 1010101 ⟩ = I I I Z Z Z Z | 1010101 ⟩ . Con Z | 0 ⟩ = | 0 ⟩ , y Z | 1 ⟩ = − | 1 ⟩ , usted obtiene :

k 4 | 1010101 ⟩ = | 1010101 ⟩

Está despejado. Gracias. Edité mi pregunta con un ejemplo, quizás me puedas decir si estoy equivocado o no.
@AntonioVerlotta: Por favor, haga una nueva pregunta para esto.
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