En términos de tensión de compresión F/AF/AF/A, ¿cuál es el área de la sección transversal de una esfera?

La razón por la que ve geometrías de sección transversal constante en las clases introductorias es que su rigidez (es decir, la carga requerida para obtener un desplazamiento dado) es constante para desplazamientos pequeños. Este no es el caso de una esfera o cualquier geometría cuya área de contacto se reduce a cero para cargas pequeñas. ¡Para un toque suave, estas geometrías tienen un cumplimiento casi infinito! Este comportamiento se estudia en el campo de la mecánica de contacto (ver, por ejemplo, Mecánica de contacto de Johnson y Nanoindentación de Fischer-Cripps ). Tiene razón en que el área de contacto es un parámetro importante en este contexto.

El caso de pequeña deformación para una esfera en contacto con una superficie plana tiene una solución exacta para un solo lado ( Caso 2 aquí ): la deformación$\alpha$(manteniendo la nomenclatura utilizada en el enlace) es

$$\alpha=\frac{(3\pi)^{2/3}}{2}P^{2/3}\left(\frac{1-\sigma^2}{\pi E}\right)^{2/3}D^{-1/3}=\frac{1}{2D^{1/3}}\left(\frac{3P}{ E^\star}\right)^{2/3},$$

dónde$P$es la fuerza aplicada,$\sigma$es la relación de Poisson de la esfera,$E$es el módulo de Young de la esfera,$D$es el diámetro de la esfera, y$E^\star=\frac{E}{1-\sigma^2}$es el módulo de Young reducido.

(Podría calcular un área de contacto efectiva, análoga a un sólido prismático, evaluando$\frac{PD}{\alpha E}$, pero esto no es muy útil, que yo sepa. En cambio, el área de contacto real es$\left(\frac{3PD}{8E^\star}\right)^{1/3}$, que puede ser útil en su comparación de similitud de esferas de diferentes tamaños).

Para sumar un segundo lado (el otro lado), aplicamos simetría para obtener el Caso 3 en el vínculo .

Con respecto a la fluencia, Johnson da la carga de fluencia$P_\mathrm{Y}$al aplicar el criterio de von Mises como

$$P_\mathrm{Y}=\frac{\pi^3D^2}{24E^{\star 2}}(1.60Y)^3.$$ dónde$Y$es el límite elástico. En comparación,$P_\mathrm{Y}=\frac{\pi D^2}{4}Y$cuando se aplica una carga axial sobre un cilindro de diámetro$D$. Johnson, por lo tanto, señala que cuando se diseña para resistencia para contacto curvo, es deseable un módulo de Young bajo (el módulo de Young no es un factor para la fluencia en el caso de contacto plano al final de la forma prismática). Esto tiene un sentido intuitivo porque la carga se distribuye sobre el área de contacto más grande de un material más flexible.