En el movimiento circular no uniforme, ¿la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial son independientes entre sí?

En el movimiento circular no uniforme, la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial son perpendiculares entre sí, pero ¿eso significa que no se afectan entre sí porque la aceleración centrípeta depende de la velocidad (= v 2 / r ) y la dirección de la aceleración tangencial (es decir, si actuará a lo largo de la dirección del movimiento o en sentido contrario a la dirección del movimiento) también depende del cambio de velocidad. Entonces, ¿dependen entre sí o no?

Respuestas (3)

Veamos el vector aceleración general en coordenadas polares ∗ :

a = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ ) θ ^

Si queremos que nuestro objeto permanezca en el mismo círculo, que supongo que es lo que le interesa, debemos tener r ˙ = 0 y r ¨ = 0 . Esto significa que nuestra aceleración debe tener la forma:

a = − r θ ˙ 2 r ^ + r θ ¨ θ ^

Dado que, según las leyes de Newton, el vector aceleración es proporcional a la fuerza a través de la masa metro de nuestra partícula, vemos que necesitamos una magnitud de fuerza radial ∗ ∗ de

F r = − metro r θ ˙ 2
y una magnitud de fuerza tangencial de
F θ = metro r θ ¨

Debido a que estamos limitados a movernos alrededor de un solo círculo, podemos determinar el papel de cada fuerza. La fuerza radial solo debe ser responsable de cambiar la dirección de la velocidad, ya que si pudiera afectar la velocidad, entonces esto significa que el objeto tendría que cambiar su r coordinar, por lo tanto, sacándonos del círculo. De manera similar, la fuerza tangencial solo debe ser responsable de cambiar la velocidad de la partícula a medida que se mueve alrededor del círculo, ya que si pudiera afectar la dirección de la velocidad, lo haría tirándonos del círculo.

Probablemente ya sepa que si queremos permanecer en el círculo, estas fuerzas deben estar "vinculadas", en cierto sentido. De hecho, si se toma la derivada temporal de F r y utilizar el requisito de que r ˙ = 0 , encontrarás que

d F r d t = − 2 θ ˙ F θ
mostrando que la presencia de una fuerza tangencial requiere un cambio en la magnitud de la fuerza radial para que la partícula permanezca en el círculo (o, por otro lado, un cambio en la magnitud de la fuerza radial debe ir acompañado de una fuerza tangencial).

¿Qué pasa si no se cumple esta condición? Bueno, mirando la derivada de F r sin la condición de que r ˙ = 0 , Debemos tener

− metro r ˙ θ ˙ 2 ≠ 0
Esto significa que r ˙ ≠ 0 , lo que significa que ya no estamos realizando un movimiento circular. Por lo tanto, necesitamos que estos dos componentes de fuerza estén vinculados de esta manera para mantener el movimiento circular.

Queda por aclarar un punto sutil (como se dio cuenta en los comentarios a otras respuestas). Esto no significa necesariamente que estas fuerzas estén físicamente vinculadas en general. Esta respuesta asume que tenemos un objeto que experimenta un movimiento circular no uniforme y luego investiga qué debe ser cierto acerca de las fuerzas que actúan sobre el objeto. Sin embargo, podría haber situaciones en las que la fuerza radial y la tangencial no estén físicamente vinculadas, momento en el que para lograr un movimiento circular no uniforme tendría que hacer que estas fuerzas actúen de tal manera que se logre un movimiento circular no uniforme.

∗ los puntos representan una tasa de cambio con respecto al tiempo si no está familiarizado con el cálculo. Por ejemplo, r ˙ es la tasa de cambio de la variable r con respecto al tiempo. La derivación de esta ecuación se puede encontrar aquí .

∗ ∗ Tenga en cuenta que esto es lo que normalmente encuentra en sus clases de física introductoria como F r = metro v 2 / r , ya que para el movimiento a lo largo de un círculo de radio r , θ ˙ = v / r . El signo negativo en esta respuesta es para realizar un seguimiento de la dirección de aumento/disminución r , pero si está trabajando en una pregunta en la que solo le importa la magnitud de la fuerza radial, entonces esto es irrelevante, por lo que generalmente no ve el signo negativo.

La primera respuesta explica bien el vínculo aparente. Aunque diría explícitamente que no dependen unos de otros y no se afectan entre sí. Por ejemplo, con una nave espacial en órbita, ¿la gravedad se ve afectada por su velocidad horizontal o viceversa? Cada uno puede decirle cuánto se requiere del otro para mantener una órbita circular, pero son sus propias aceleraciones. ¿La aceleración en una dirección afecta la aceleración en una dirección perpendicular solo porque queremos un movimiento circular? Yo no diría eso.

Son sus propias aceleraciones. Pero si no están vinculados, solo puede tener un movimiento circular uniforme. Tan pronto como incluye una fuerza tangencial, ya no está en movimiento circular. Necesita que el enlace tenga un movimiento circular no uniforme. Con tu ejemplo de la gravedad sería imposible tener una órbita con movimiento circular no uniforme.
¿Estás diciendo que una nave espacial 'afecta' la gravedad para mantener el movimiento circular? Puede ser una cuestión de uso de palabras, como que uno depende del otro para mantener un círculo, pero es más como un tipo de dependencia de 'oye, estoy dependiendo de ti, amigo' que realmente afecta al otro.
No estoy diciendo eso en absoluto. Estoy diciendo que para un movimiento circular no uniforme ese debería ser el caso. Dado que eso no puede suceder con la gravedad, el movimiento circular no uniforme no puede ser posible para las órbitas gravitatorias.
Puedes hacerlo si la nave espacial está acelerando de alguna manera para que así sea. Esto significaría que también está acelerando radialmente en algunas formas.
Por órbita gravitacional, generalmente solo queremos decir que la gravedad es la única fuerza radial, pero su ejemplo también está bien ... Entonces, necesitaría que la aceleración radial proporcionada por su nave espacial se comporte de la manera correcta en comparación con la aceleración tangencial. El punto es que no puedes elegir cualquier fuerza radial y tangencial y producir un movimiento circular no uniforme. Definitivamente tiene que haber algún vínculo.
Ok, tal vez técnicamente una mala elección de palabras (aunque coloquialmente se podría decir órbita para cualquier objeto que se cierne alrededor, como un perro que está orbitando a una persona), pero ¿cómo lo llamarías si no fuera órbita? Pero incluso en ese caso, con un 'vínculo', ¿diría que la aceleración en una dirección 'afecta' a la aceleración en otra dirección? Como dije, todo puede ser una cuestión de aclarar la redacción.
Entonces, ¿estás tratando de decir que no hay necesariamente un enlace físico ? Estoy de acuerdo en que a la gravedad no le importa la aceleración causada por los propulsores del cohete. Estaba tomando el movimiento circular no uniforme como un hecho (ya que la publicación comienza con "en movimiento circular no uniforme"), y luego miraba lo que debe ser cierto acerca de cómo estas fuerzas se relacionan entre sí. Agregaré a mi respuesta algo que aclare esto. Gracias
Sí, se da por hecho, pero aún así, ¿"afecta"? Dígame usted.
Es complicado, supongo. Por ejemplo, si tengo un cohete atado a una cuerda de longitud fija y el cohete enciende sus propulsores tangenciales, entonces la tensión en la cuerda cambiará automáticamente. Diría que los propulsores del cohete han afectado la tensión. Sin embargo, en su ejemplo de cohete en el espacio, solo tendría que asegurarse de que las fuerzas radiales y tangenciales se comporten en consecuencia, pero podría argumentar que una en realidad no afecta a la otra.
Sí, dirías que el cambio de tensión afecta a las fuerzas que mantienen unida la cuerda. Pero incluso entonces, ¿las fuerzas radiales en la cuerda se ven afectadas por la aceleración del cohete en alguna otra dirección? Aunque sabemos que esto es necesario para que se mantenga el movimiento circular y eso es lo que queremos, ¿por qué las fuerzas radiales se preocuparían por nuestro deseo de movimiento circular? ¿Porque estamos haciendo que les importe?

La naturaleza no sabe nada sobre el movimiento circular. En cualquier evento de espacio-tiempo dado, una partícula tiene solo aceleración lineal. El movimiento circular es una construcción hecha por el hombre. Una forma de apreciar esto es transformar la trayectoria de una partícula no acelerada en un sistema giratorio.

Publiqué esto desde mi teléfono porque no he tenido conexión a Internet. Así que fue necesariamente conciso. Me parece que este es un tema muy difícil que he abordado de muchas maneras diferentes. Puede recorrer todas las matemáticas y seguir todas las manipulaciones de símbolos, pero hasta que comprenda la esencia de mi respuesta original, no comprenderá la física del movimiento de rotación.

Si no le gusta mi respuesta original, puede intentar ordenar nuestras notas sobre curvas y cinemática de transformaciones no inerciales que comienzan (a partir de hoy) en la página 38 de este cuaderno:

https://drive.google.com/file/d/1XOaXd5hcyh7io00bdvD2KlVJtxpS2Gy4/view?usp=sharing

Un ejemplo esclarecedor que tomé de Wells está en la página 3 de https://drive.google.com/open?id=1WJ05eVLVYZLDdAtIZlcTr8MfmtLir9R6

También eche un vistazo a la discusión de la Fuerza de Coriolis en la página 19 del mismo.

Mis diversas derivaciones de las leyes de Kepler que se encuentran aquí también pueden ser instructivas. https://drive.google.com/file/d/1OIgf7m8pIYMCN4Oru0cwvRztH619vjoo/view?usp=sharing

¿Por qué no podemos decir que los marcos de referencia giratorios son una construcción hecha por el hombre? El hecho de que pueda cambiar los marcos de referencia para cambiar el movimiento no significa que no exista. Puedes usar el mismo razonamiento para decir que el movimiento lineal no es real.
Bueno, si el movimiento circular no era "real" y solo una construcción de la percepción humana, como dices, ¿por qué no podemos hacer una pregunta al respecto dentro de los límites de esta percepción? Filosóficamente, podría argumentar que todos vivimos en una simulación por computadora; entonces, esta pregunta sería simplemente sobre las reglas dentro de esta simulación. Este no es un argumento para simplemente ignorar la pregunta.
@Steeven Acepto que mi respuesta no es rigurosa. Otra forma en que podría haberlo dicho es que, a los efectos de la dinámica, todas las aceleraciones deben determinarse en relación con un sistema de inercia. Por supuesto, podemos considerar un sistema giratorio como un marco de reposo dotado de campos de pseudofuerza. Pero eso requiere una serie de definiciones especiales. Estos requieren apelaciones a construcciones artificiales como "cuerpos rígidos". No dije, no pienses en términos de sistemas rotativos. Estaba sugiriendo que son menos naturales que los sistemas inerciales.
En el movimiento circular no uniforme, ¿la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial son independientes entre sí?
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