¿Por qué un coeficiente de reflexión negativo corresponde a una diferencia de fase de ππ\pi?

Question

¿Por qué un coeficiente de reflexión negativo corresponde a una diferencia de fase de ππ\pi?

RESPLANDOR

Como ejemplo usaré las ecuaciones de Fresnel:

\begin{matrix} (T) & t_{pag, s} = \frac{2 porque θ^{i}}{porque θ^{t, i} + \frac{{norte}_{2}}{{norte}_{1}} porque θ^{i, t}} \end{matrix}

$t_{p,s}=\frac{2\cos\theta^i}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{T}$

\begin{matrix} (R) & r_{pag, s} = \frac{porque θ^{t, i} - \frac{{norte}_{2}}{{norte}_{1}} porque θ^{i, t}}{porque θ^{t, i} + \frac{{norte}_{2}}{{norte}_{1}} porque θ^{i, t}} \end{matrix}

$r_{p,s}=\frac{\cos\theta^{t,i}-\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}{\cos\theta^{t,i}+\frac{n_2}{n_1}\cos\theta^{i,t}}\tag{R}$

Los subíndices en el LHS de $(\mathrm{T})$ & $(\mathrm{R})$ ; $p,s$ están vinculados a los superíndices $t,i$ en el RHS de $(\mathrm{T})$ & $(\mathrm{R})$ . Dónde $p$ denota el componente del campo eléctrico paralelo al plano de incidencia (que es la página/pantalla), $s$ es la componente perpendicular del campo eléctrico al plano de incidencia. los superíndices $i$ , $t$ denotan incidencia y transmisión respectivamente.

En incidencia normal $\theta^i=\theta^t=0$ y entonces

\begin{matrix} (NORTE) & r_{pag} = r_{s} = r = \frac{{mi}^{r}}{{mi}^{i}} = \frac{{norte}_{1} - {norte}_{2}}{{norte}_{1} + {norte}_{2}} \end{matrix}

$r_p=r_s=r=\frac{E^r}{E^i}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\tag{N}$

Si consideramos el caso simple de la luz que incide normalmente desde el aire ( $n_1 \approx 1$ ) a vidrio ( $n_2\approx 1.5$ ) entonces:

\frac{{mi}^{r}}{{mi}^{i}} = - 0.2

$\color{blue}{\fbox{$\frac{E^r}{E^i}=-0.2$}}$

Ahora, aquí es donde comienza mi pregunta principal: según cada fuente que encuentro, generalmente afirman "la razón del signo menos es porque hay una diferencia de fase de $\pi$ entre la onda reflejada y la onda incidente".

Walter Lewin usó el mismo cálculo que en $(\mathrm{N})$ y llegué a la casilla que marqué en azul y le pregunté a su audiencia "¿Cuál es el significado del signo menos?" que se puede ver en $53$ min en su Conferencia "8.03 - Lect 18 - Índice de refracción, reflexión, ecuaciones de Fresnel, ángulo de Brewster". Uno de sus alumnos respondió que el significado del menos es $180^{\circ}$ diferencia de fase. Luego, Walter continúa dando un refuerzo adicional de que el signo menos significa $\pi$ diferencia de fase y dio un razonamiento intuitivo (heurístico) para esto (que lamentablemente no responde a mi pregunta aquí).

Aquí hay un breve extracto de mis notas de clase:

El texto que adjunté en rojo para esos dos puntos requiere justificación. ¿Por qué 'positivo' implica 'en fase' y 'negativo' implica 'diferencia de fase de $\pi$ '?

Finalmente, me gustaría entender por qué ocurre el cambio de signo en la curva de $r_p$ ; ya que es la única relación de reflexión a incidente que realmente cruza la $\theta_i$ eje:

Mirando el gráfico de la izquierda, me dicen que la diferencia de fase

θ^{r} - θ^{i} = {\begin{cases} π & si θ^{i} < θ_{B} \\ 0 & si θ^{i} > θ_{B} \end{cases}

$\theta^r-\theta^i=\begin{cases} \pi & \text{if}\quad \theta^i \lt \theta_B \\ 0 & \text{if}\quad \theta^i \gt \theta_B \end{cases}$

sin prueba Me estoy cansando mucho de que me digan esto sin explicación. En la página 391 de "Introducción a la electrodinámica" 3ra edición por "David J. Griffiths" es el mismo gráfico que el de la izquierda de la imagen de arriba y su razonamiento es que

En el gráfico, un número negativo indica que la onda es $180^{\circ}$ fuera de fase con el haz incidente.

Lo cual de nuevo me es inútil y no explica con ningún rigor el razonamiento matemático; que es el tipo de explicación que estoy buscando.

Si tuviera que adivinar, diría que el signo menos correspondiente a una diferencia de fase de $\pi$ tendría que venir del producto escalar dentro del argumento del campo eléctrico:

\begin{matrix} (1) & {\vec{mi}}_{i} = {\vec{mi}}_{0_{i}} {mi}^{i (ω t - k_{i} \cdot \vec{r})} \end{matrix}

$\vec E_i=\vec E_{0_i}e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & {\vec{mi}}_{r} = {\vec{mi}}_{0_{r}} {mi}^{i (ω t - k_{r} \cdot \vec{r})} \end{matrix}

$\vec E_r=\vec E_{0_r}e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}\tag{2}$

\begin{matrix} (3) & {\vec{mi}}_{t} = {\vec{mi}}_{0_{t}} {mi}^{i (ω t - k_{t} \cdot \vec{r})} \end{matrix}

$\vec E_t=\vec E_{0_t}e^{i(\omega t - k_t\cdot \vec r)}\tag{3}$

Ecuación divisoria $(2)$ por $(1)$ Encuentro que por definición

r_{pag} = \frac{{mi}_{r}}{{mi}_{i}} = \frac{{\vec{mi}}_{0_{r}}}{{\vec{mi}}_{0_{i}}} \frac{{mi}^{i (ω t - k_{r} \cdot \vec{r})}}{{mi}^{i (ω t - k_{i} \cdot \vec{r})}} = \frac{{\vec{mi}}_{0_{r}}}{{\vec{mi}}_{0_{i}}} {mi}^{i \vec{r} (k_{i} - k_{r})}

$r_p=\frac{E_r}{E_i}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}\frac{e^{i(\omega t - k_r\cdot \vec r)}}{e^{i(\omega t - k_i\cdot \vec r)}}=\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}$

Pero no sé cómo proceder para demostrar que si

\begin{matrix} (?) & \frac{{\vec{mi}}_{0_{r}}}{{\vec{mi}}_{0_{i}}} {mi}^{i \vec{r} (k_{i} - k_{r})} < 0 \end{matrix}

$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\tag{?}$ entonces hay una diferencia de fase de

π

$\pi$ entre

{\vec{E}}_{i}

$\vec E_i$ y

{\vec{E}}_{r}

$\vec E_r$ .

¿Alguien podría ayudarme a completar la prueba o mostrarme si hay otra manera de probar que una relación negativa de reflexión a incidente significa un cambio de fase de $\pi$ ?

Ya he leído preguntas similares en este sitio; como esta , esta y esta pregunta popular , pero todavía no responden a mi pregunta aquí.

Actualizar:

Desde entonces, me han dado una respuesta que menciona un caso especial de la Identidad de Euler; la respuesta dice que

cualquier signo menos puede reinterpretarse como un cambio de fase de $\pi$ , que puede traer al argumento de campo.

Usando la desigualdad $(\mathrm{?})$ y la fórmula de Euler significa que

\begin{matrix} (4) & \frac{{\vec{mi}}_{0_{r}}}{{\vec{mi}}_{0_{i}}} {mi}^{i \vec{r} (k_{i} - k_{r})} < 0 ⟹ \vec{r} (k_{i} - k_{r}) = π \end{matrix}

$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}\lt 0\implies \vec r(k_i-k_r)=\pi\tag{4}$

Entonces, ¿cómo $(4)$ Demuestre que cualquier número negativo tiene una diferencia de fase de $\pi$ de la razón de reflexión a incidente?

alfredo centauro

Esta pregunta muestra un esfuerzo de investigación como muy pocos que he visto; +1

ProfRob

Porque si multiplicas un vector por -1, apunta en la dirección opuesta, es decir, está desfasado por

π

$\pi$ .

Respuestas (2)

¿Por qué un coeficiente de reflexión negativo corresponde a una diferencia de fase de ππ\pi?

Esta pregunta muestra un esfuerzo de investigación como muy pocos que he visto; +1
Porque si multiplicas un vector por -1, apunta en la dirección opuesta, es decir, está desfasado por $\pi$ .

gilberto · Answer 1

gilberto

Supongo que no sería satisfactorio para ti si recuerdo la ecuación favorita de todos, $e^{i \pi}=-1$ ? Entonces, cualquier signo menos puede reinterpretarse como un cambio de fase de $\pi$ , que puede traer al argumento de campo.

RESPLANDOR

Gracias por su respuesta y sí, es satisfactorio recordar posiblemente la ecuación más fascinante jamás escrita. Sin embargo, esa ecuación tiene una fase (desplazamiento) de

π

$\pi$ para

- 1

$-1$ solo (al menos eso creo). ¿Qué pasa en el caso general en el que tenemos un número negativo

\neq - 1

$\ne -1$ (decir

- 3

$-3$ en cambio)? La desigualdad denotada por

(?)

$(\mathrm{?})$ tiene que demostrar que tiene una diferencia de fase de

π

$\pi$

\forall Z_{< 0}

$\forall\, \Bbb Z_{\lt 0}$ .

gilberto

Ah, creo que veo tu confusión. En general, el coeficiente de reflexión, r, es un número complejo. Si escribes el complejo r como

A * e^{i θ}

$A*e^{i \theta}$ , entonces A le dará el cambio de amplitud, y &\theta& le dará el cambio de fase. Esto surge cuando considera materiales reales con pérdida, por ejemplo, metales (que tienen índices de refracción que son casi todos imaginarios). Así que si

r = - 0.5

$r=-0.5$ , eso es un cambio de amplitud de un factor de 0.5, y un cambio de fase de

π

$\pi$ .

gilberto

También debería haber mencionado antes, esta es una buena pregunta. Ha hecho una astuta observación de que no debería haber una razón física para que los cambios de fase en la reflexión sean solo cero o 180 °. De hecho, no lo son, excepto por el ejemplo de libro de texto de un reflector dieléctrico idealizado.

RESPLANDOR

Gracias, en tu comentario anterior, escritura compleja.

\vec{r}

$\vec r$ como

A e^{i θ} = \frac{{\vec{E}}_{0_{r}}}{{\vec{E}}_{0_{i}}} e^{i \vec{r} (k_{i} - k_{r})}

$Ae^{i \theta}=\dfrac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)}$ entonces

A = \frac{{\vec{E}}_{0_{r}}}{{\vec{E}}_{0_{i}}}

$A=\dfrac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}$ y

θ = \vec{r} (k_{i} - k_{r})

$\theta=\vec r (k_i-k_r)$ pero ¿cómo se sigue de esto que

θ = π

$\theta = \pi$ si

\frac{{\vec{E}}_{0_{r}}}{{\vec{E}}_{0_{i}}} e^{i \vec{r} (k_{i} - k_{r})} < 0

$\dfrac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}}e^{i \vec r(k_i-k_r)} \lt 0$ ? ¿Puedes ver qué es lo que estoy tratando de lograr?

gilberto

Resulta que para cualquier número real negativo escrito como una amplitud que multiplica un argumento complejo, el argumento será

π

$\pi$ . En el plano complejo, los números en el eje real tienen un argumento de 0 o

π

$\pi$ . ¡Intentalo!

gilberto

Puedo editar la respuesta, pero en este punto, probablemente debería leer en el plano complejo, prestando más atención a la representación de coordenadas polares de números complejos. ¡Creo que mi declaración anterior se volverá obvia una vez que tenga un poco de intuición! Visualiza el plano complejo y piensa dónde se encuentran los números positivos y negativos, y qué significa esto para el "argumento" del número complejo. ¡Buena suerte!

Wolpertinger · Answer 2

Ya te acercaste bastante a tu (?)-identidad. Lo primero que debe darse cuenta es que la dispersión de ondas electromagnéticas es elástica , por lo que

k_{i} = k_{r} .

$k_i = k_r.$

Eso simplifica (?) a

\frac{{\vec{mi}}_{0_{r}}}{{\vec{mi}}_{0_{i}}} < 0.

$\frac{\vec E_{0_r}}{\vec E_{0_i}} < 0.$

Así que esto es simplemente una condición sobre las amplitudes complejas del campo. Descompongamos las amplitudes en magnitud y fase:

{\vec{mi}}_{0_{i}} = {\vec{A}}_{0_{i}} {mi}^{i ϕ_{i}},

$\vec E_{0_i} = \vec A_{0_i} e^{i\phi_i},$

{\vec{mi}}_{0_{r}} = {\vec{A}}_{0_{r}} {mi}^{i ϕ_{r}}

$\vec E_{0_r} = \vec A_{0_r} e^{i\phi_r}$ dónde

{\vec{A}}_{0_{i}}

$\vec A_{0_i}$ ,

{\vec{A}}_{0_{r}}

$\vec A_{0_r}$ son reales y positivos. Entonces la condición (?) se convierte en

\frac{{\vec{A}}_{0_{r}}}{{\vec{A}}_{0_{i}}} {mi}^{i (ϕ_{r} - ϕ_{i})} < 0

$\frac{\vec A_{0_r}}{\vec A_{0_i}} e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0$

y por lo tanto

{mi}^{i (ϕ_{r} - ϕ_{i})} < 0.

$e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0.$

$\phi_r-\phi_i$ es la diferencia de fase. Por supuesto que podría ser cualquier cosa, pero nuevamente debido a la elasticidad, el coeficiente de reflexión siempre es real . Entonces el factor anterior solo toma 2 valores

{mi}^{i (ϕ_{r} - ϕ_{i})} \in {\begin{cases} + 1 \\ - 1 \end{cases} .

$e^{i(\phi_r-\phi_i)} \in \cases{+1 \\ -1}.$

Y esto es lo que la gente quiere decir con el cambio de fase $\pi$ cuando el coeficiente de reflexión es negativo.

Dos comentarios:

Afirmé que la dispersión de ondas electromagnéticas es elástica. Esto se debe a que hemos asumido implícitamente que los índices de refracción son reales. Si son complejos tienes absorción en el sistema, el coeficiente de reflexión se vuelve complejo y $e^{i(\phi_r-\phi_i)} <0$ ya ni siquiera tiene sentido ya que el lado izquierdo es un número complejo.
Una imagen siempre ayuda. La reflexión se trata de olas que entran y salen. En 1D: Entonces el significado de los cambios de fase se vuelve claro.

¿Por qué un coeficiente de reflexión negativo corresponde a una diferencia de fase de ππ\pi?

RESPLANDOR

Actualizar:

alfredo centauro

ProfRob

Respuestas (2)

gilberto

RESPLANDOR

gilberto

gilberto

RESPLANDOR

gilberto

gilberto

Wolpertinger

¿Cambia la reflectividad del metal cuando se coloca en un fuerte campo eléctrico?

¿Dónde me estoy equivocando al derivar la primera ecuación de Maxwell en forma diferencial?

¿Qué fuerza causa la FEM inducida de un bucle? Y, ¿cuál es la diferencia entre un EMF de bucle y un EMF de movimiento?

¿Cuál es el significado físico de la densidad de energía de un campo electrostático?

Origen del campo deducido del potencial

¿Se desarrolla carga en la superficie de un alambre que lleva corriente?

¿Qué sucede si usa una batería para cargar completamente un capacitor y luego desconecta la batería? ¿A dónde 'va' la carga?

¿Usando el método de relajación para modelar dieléctricos negativos en un campo eléctrico?

¿Puede una partícula cargada interactuar con su propio campo electromagnético? [duplicar]

Si eliminamos todos los electrones de un conductor, ¿cómo puede reorganizarse la carga positiva?