¿El sistema de coordenadas polares es inercial o no inercial?

Question

¿El sistema de coordenadas polares es inercial o no inercial?

larrydavid

Considere un automóvil que se desplaza en un círculo que se encuentra en el plano y suponga que estamos interesados en determinar su aceleración medida por un observador estacionario en el "suelo" o lo que sea. Introducir coordenadas cilíndricas es un camino tradicional para este fin.

Por lo tanto, introducimos coordenadas cilíndricas para describir el movimiento plano de los ciclistas. Tendremos un vector unitario $\textbf{e}_r$ a lo largo del radio y otro vector unitario $\textbf{e}_\theta$ perpendicular a $\textbf{e}_r$ . Estos vectores unitarios "siguen" junto con el automóvil en el sentido de que siempre están girando.

Entonces, en este sistema, y al igual que para el sistema estacionario del observador, la aceleración del automóvil viene dada por:

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {mi}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ}

$\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$

El término $2 \dot{r} \dot{\theta} \textbf{e}_\theta$ es la aceleración de Coriolis.

Ahora, me pregunto por qué de hecho aparece en la expresión. Porque según tengo entendido, un sistema giratorio no es inercial. Entonces, ¿cómo pueden las mediciones de la aceleración del automóvil realizadas en ese sistema rotatorio no inercial explicar y coincidir perfectamente con la aceleración del automóvil observada en el sistema del observador estacionario?

Lo que me deja perplejo es que estamos usando un sistema giratorio y no inercial , es decir, el sistema de coordenadas cilíndricas, y hacemos cálculos en él que describen satisfactoriamente la aceleración tal como los mediría el sistema inercial y no giratorio del observador estacionario . ¿¡Qué!?

Ahora, claramente, dado que la aceleración de Coriolis es evidente en la expresión de la aceleración, nos dice que el sistema giratorio es inercial, por lo que las observaciones realizadas en ese sistema giratorio son las mismas que en el estacionario. ¿Cómo? Obviamente me estoy perdiendo algo aquí. ¿Qué?

djohnm

Si el ángulo theta se mide en relación con, digamos, el norte, ¿entonces el sistema cilíndrico no es también inercial?

larrydavid

No estoy seguro de entender exactamente lo que quieres decir. Por lo que sé, el sistema está girando y eso agita un poco las cosas. Supongo que resulta ser inercial, simplemente no entiendo cómo.

david hamen

Nota: Tienes un error de señal. La aceleración de Coriolis es

- 2 \dot{r} \dot{θ} e_{θ}

$-2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta$ . Esta podría ser la fuente de su confusión.

larrydavid

¿De verdad? Mire este artículo de wiki: en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Vector_calculus

david hamen

En realidad. Estás viendo las cosas desde la perspectiva equivocada. Cada término del lado derecho excepto el

\ddot{r} e_{r}

$\ddot r \mathbf e_r$ el término debe moverse al lado izquierdo. Haz eso y obtendrás

a - 2 \dot{r} \dot{θ} e_{θ} + other terms = \ddot{r} e_{r}

$a - 2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta + \text{other terms} = \ddot r \mathbf e_r$ . Esa es la fuente de su error de signo en la aceleración de Coriolis. (Nótese bien: Su expresión para

a

$a$ es correcto. Es lo que llamaste aceleración de Coriolis lo que está mal).

larrydavid

Ok, creo que entiendo lo que dices. Sin embargo, ¿no es que la aceleración es positiva, mientras que la fuerza es negativa según la definición

F_{coriolis} = - m a_{coriolis}

$\textbf{F}_{\text{coriolis}} = -m \boldsymbol{a}_{\text{coriolis}}$

david hamen

Esa es la definición incorrecta. Puede pensar que esto es quisquilloso, ¡pero las definiciones son importantes! Lea su propia referencia. Es muy cuidadoso llamar a esos términos centrífugo y coriolis "porque tienen cierta semejanza con los efectos centrífugo y Coriolis".

dmckee --- gatito ex-moderador

Preguntas: ¿cuál es la trayectoria de un objeto con una velocidad inicial distinta de cero que no está sujeto a fuerzas en este sistema de coordenadas? (Ser capaz de esbozarlo es suficiente, no sienta que necesita derivar una forma funcional en este momento). Esas son trayectorias inerciales en este sistema de coordenadas, y ninguna de

r (t)

$r(t)$ ,

\dot{r} (t)

$\dot{r}(t)$ ,

θ (t)

$\theta(t)$ o

\dot{θ} (t)

$\dot\theta(t)$ son en general cero a lo largo de esos caminos. El comportamiento inercial no está definido por las coordenadas, sino por la física.

Respuestas (6)

¿El sistema de coordenadas polares es inercial o no inercial?

Si el ángulo theta se mide en relación con, digamos, el norte, ¿entonces el sistema cilíndrico no es también inercial?
No estoy seguro de entender exactamente lo que quieres decir. Por lo que sé, el sistema está girando y eso agita un poco las cosas. Supongo que resulta ser inercial, simplemente no entiendo cómo.
Nota: Tienes un error de señal. La aceleración de Coriolis es $-2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta$ . Esta podría ser la fuente de su confusión.
¿De verdad? Mire este artículo de wiki: en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Vector_calculus
En realidad. Estás viendo las cosas desde la perspectiva equivocada. Cada término del lado derecho excepto el $\ddot r \mathbf e_r$ el término debe moverse al lado izquierdo. Haz eso y obtendrás $a - 2\dot r \dot \theta \mathbf e_\theta + \text{other terms} = \ddot r \mathbf e_r$ . Esa es la fuente de su error de signo en la aceleración de Coriolis. (Nótese bien: Su expresión para $a$ es correcto. Es lo que llamaste aceleración de Coriolis lo que está mal).
Ok, creo que entiendo lo que dices. Sin embargo, ¿no es que la aceleración es positiva, mientras que la fuerza es negativa según la definición $\textbf{F}_{\text{coriolis}} = -m \boldsymbol{a}_{\text{coriolis}}$
Esa es la definición incorrecta. Puede pensar que esto es quisquilloso, ¡pero las definiciones son importantes! Lea su propia referencia. Es muy cuidadoso llamar a esos términos centrífugo y coriolis "porque tienen cierta semejanza con los efectos centrífugo y Coriolis".
Preguntas: ¿cuál es la trayectoria de un objeto con una velocidad inicial distinta de cero que no está sujeto a fuerzas en este sistema de coordenadas? (Ser capaz de esbozarlo es suficiente, no sienta que necesita derivar una forma funcional en este momento). Esas son trayectorias inerciales en este sistema de coordenadas, y ninguna de $r(t)$ , $\dot{r}(t)$ , $\theta(t)$ o $\dot\theta(t)$ son en general cero a lo largo de esos caminos. El comportamiento inercial no está definido por las coordenadas, sino por la física.

david hamen · Answer 1

Entonces, en este sistema, y al igual que para el sistema estacionario del observador, la aceleración del automóvil viene dada por:

$a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {mi}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ}$ $\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$

El término $2 \dot{r} \dot{\theta} \textbf{e}_\theta$ es la aceleración de Coriolis.

La aceleración del automóvil en el sistema giratorio y el sistema estacionario no son lo mismo. Los términos que implican $\dot r$ y $\ddot r$ desaparecen si el automóvil va en un círculo y el observador giratorio está en el centro del círculo. La aceleración en este caso es idénticamente cero en el sistema giratorio pero no es cero en el sistema estacionario.

El observador estacionario solo necesita conocer las fuerzas de fricción en las ruedas del automóvil, el arrastre aerodinámico en la carrocería del automóvil y la aceleración del motor del automóvil para explicar el movimiento del automóvil. El observador estacionario no ve el efecto de Coriolis. Ese es un efecto ficticio que solo necesita el observador giratorio, y solo si el observador giratorio quiere usar la segunda ley de Newton para explicar el movimiento del automóvil. Esta es una de varias fuerzas ficticias que surgen en marcos no inerciales.

Lo que me deja perplejo es que estamos usando un sistema giratorio y no inercial, es decir, el sistema de coordenadas cilíndricas, y hacemos cálculos en él que describen satisfactoriamente la aceleración tal como los mediría el sistema inercial y no giratorio del observador estacionario. ¿¡Qué!?

No hay magia aquí. Esas fuerzas ficticias se definieron específicamente de una manera que permite a los observadores no inerciales describir el movimiento a través de la segunda ley de Newton.

Actualización: uso de la segunda ley de Newton en un marco no inercial

Supongamos que un observador inercial (estoy ignorando la rotación de la Tierra) está en un puesto de observación, situado justo encima de la pista circular. El observador inercial conoce las fuerzas individuales que actúan sobre el automóvil (rozamiento de las ruedas al girar el volante, resistencia aerodinámica, fuerza del par motor (que también actúa a través de las ruedas)), suma estas fuerzas vectorialmente y utiliza $\mathbf F = m\mathbf a$ para encontrar la aceleración del coche.

Suponga que otro observador en el centro de la pista gira de modo que el automóvil parezca estar parado. Aunque hay una fuerza horizontal neta sobre el automóvil, la aceleración del automóvil desde la perspectiva del observador giratorio es cero (el automóvil está estacionario). Peor aún, el observador giratorio ve al observador inercial dando vueltas alrededor de la pista, en dirección opuesta a la rotación del observador giratorio. Obviamente una aplicación ingenua de $\mathbf F = m\mathbf a$ no funciona para el observador giratorio. La segunda ley de Newton puede funcionar agregando algunas fuerzas ficticias.

Hagamos la pista ovalada en lugar de circular. Ahora el observador giratorio ve algo de aceleración. El automóvil se acerca y se aleja del observador a medida que avanza por la pista. La aceleración observada por el observador giratorio es $\mathbf a_\text{rotating} = \ddot r \mathbf e_r$ . La aceleración del automóvil observada por el observador inercial, transformada en el marco de referencia del observador giratorio, es $\mathbf a_\text{inertial} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\mathbf e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta$ . (Tenga en cuenta que esta es la misma expresión en la pregunta de apertura). El primer término, $\ddot r \mathbf e_r$ , es la aceleración observada por el observador giratorio. Usando la segunda ley de Newton, esto se puede reescribir como

\frac{F_{extensión}}{metro} = a_{giratorio} - r {\dot{θ}}^{2} {mi}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ}

$\frac {\mathbf F_\text{ext}} m = \mathbf a_\text{rotating} - r\dot\theta^2\mathbf e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta$ o

F_{extensión} + metro r {\dot{θ}}^{2} {mi}_{r} - metro r \ddot{θ} {mi}_{θ} - 2 metro \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ} = metro a_{giratorio}

$\mathbf F_\text{ext} + mr\dot\theta^2\mathbf e_r - mr\ddot\theta\mathbf e_\theta - 2m\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta = m\mathbf a_\text{rotating}$ Denotar

\begin{aligned} F_{centrífugo} & \equiv metro r {\dot{θ}}^{2} {mi}_{r} \\ F_{coriolis} & \equiv - 2 metro \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ} \\ F_{euler} & \equiv - metro r \ddot{θ} {mi}_{θ} \\ F_{nene} & \equiv F_{extensión} + F_{centrífugo} + F_{coriolis} + F_{euler} \end{aligned}

$\begin{aligned} &\mathbf F_\text{centrifugal} && \equiv mr\dot\theta^2\mathbf e_r \\ &\mathbf F_\text{coriolis} && \equiv -2m\dot r \dot\theta)\mathbf e_\theta \\ &\mathbf F_\text{euler} && \equiv -mr\ddot\theta\mathbf e_\theta \\ &\mathbf F_\text{tot} && \equiv \mathbf F_\text{ext} + \mathbf F_\text{centrifugal} + \mathbf F_\text{coriolis} + \mathbf F_\text{euler} \end{aligned}$

Con esto, la expresión que relaciona fuerza y aceleración observada por el observador en rotación se simplifica a

F_{nene} = metro a_{giratorio}

$\mathbf F_\text{tot} = m\mathbf a_\text{rotating}$ ¡La segunda ley de Newton!

Pero está escrito en términos de $\textbf{e}_r$ y $\textbf{e}_\theta$ que son los vectores unitarios del sistema cilíndrico giratorio. ¿Por qué entonces está presente, por ejemplo, el término de Coriolios? ¿No debería desaparecer? ¿Es esa fuerza ficticia observada por el sistema giratorio o no giratorio? Para uno de ellos tiene que desaparecer no?
@larrydavid (1) Honestamente, esta respuesta ha sido una de las más útiles que he leído para entender esto. Creo que la confusión aquí es distinguir entre fuerzas ficticias y aceleraciones (a ambos se les llama "términos de Coriolis". Las fuerzas ficticias están presentes en un sistema no inercial, específicamente porque están allí para explicar las aceleraciones cuando se observan en la rotación Observe cómo el observador en el sistema giratorio no ve ninguna aceleración (en el ejemplo circular). Esto solo tiene sentido si hubiera "algún tipo de fuerza" presente para "contrarrestar" las observadas.
@larrydavid(2)Estas son las fuerzas ficticias. Los términos de aceleración en la ecuación que presentó son el resultado de transformar la aceleración en el marco de inercia, al sistema de coordenadas giratorio. Esta es la aceleración en el marco de referencia inercial, descrita matemáticamente por el sistema de coordenadas giratorio. Para el observador giratorio, estas aceleraciones no están presentes y, por lo tanto, las fuerzas ficticias están ahí para "equilibrar" las otras fuerzas reales que ve el observador en la referencia giratoria, ya que no se observa aceleración.

djohnm · Answer 2

Seamos claros aquí.

Tiene un automóvil que gira alrededor de un centro en un círculo a velocidad angular constante y, por supuesto, radio constante.

Utiliza un marco de referencia cartesiano con su origen en el centro del círculo, el eje z vertical, el eje x este y el eje y norte. Llámalo Marco #1

En este marco de referencia, todas las leyes de Newton se cumplen y cualquier aceleración en las direcciones x, y o z en cualquier momento particular puede explicarse por los componentes x, y y z en ese momento de todas las fuerzas reales. que están claramente presentes y visibles: la gravedad, la fricción entre los neumáticos y la carretera, la fuerza de reacción del (posiblemente) terreno inclinado. Puedes escribir todas las ecuaciones de movimiento y serán verdaderas para el movimiento y las fuerzas observados.

Ahora eligió usar un marco de referencia polar cilíndrico. Llámalo Marco #2. En este marco de referencia, el eje z es vertical y los ángulos se miden en sentido antihorario desde el este. En este marco de referencia, el movimiento del automóvil es más fácil de describir: z = 0, r = constante y la velocidad angular es constante.

Este no es un marco de referencia giratorio.

Hay transformaciones que te permiten reemplazar cualquier instancia de x o sus derivados con una función de solo r, $\theta$ yz y sus derivadas. Lo mismo es cierto para y y z. Entonces, las versiones cartesianas de las leyes del movimiento de Newton se convertirían cada una en una versión polar puramente cilíndrica de las mismas ecuaciones. Las Leyes de Newton aún se mantendrían.

¡Una tercera posibilidad es usar coordenadas CylPol en las que los ángulos se miden en sentido contrario a las agujas del reloj desde la posición del automóvil! Ahora estás realmente en problemas. Tienes todas las fuerzas reales actuando sobre el auto, no se equilibran, y el auto está absolutamente inmóvil. Sin movimiento, sin aceleración. Ahora necesitas algunas fuerzas ficticias...

Así que la idea clave es que cada vector $(r,\theta)$ dado en el cilíndrico siempre se puede convertir en un vector $(x,y)$ en el sistema cartesiano, es decir, el marco de referencia no giratorio. Pero, ¿no es esto siempre cierto, ya sea que el marco de referencia giratorio sea cilíndrico o lo que sea? ¿Significa esto que ningún marco de referencia giratorio es un marco de referencia giratorio simplemente porque siempre hay transformaciones de regreso al sistema cartesiano? Por cierto, un esquema fantástico en toda tu respuesta. Creo que estoy a punto de finalmente entender esto, solo necesito resolver algunas cosas
¿Cómo es que el marco de referencia polar cilíndrico no es un marco de referencia giratorio? Claro, todas las coordenadas en el marco polar se pueden transformar en el marco cartesiano, pero ¿por qué eso significa que no es un marco giratorio? Tome cualquier marco giratorio y puede transformar sus coordenadas en coordenadas cartesianas, entonces, ¿cuándo es exactamente el marco una referencia giratoria?

larrydavid · Answer 3

Habiendo reflexionado sobre esto por un tiempo, creo que la respuesta más simple debe ser que la fórmula

a = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {mi}_{r} + (r \ddot{θ} + 2 \dot{r} \dot{θ}) {mi}_{θ}

$\boldsymbol{a} = (\ddot{r} - r \dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (r \ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\textbf{e}_\theta$ solo se puede producir cuando diferenciamos con respecto al observador inercial. Es sólo debido a nuestra diferenciación de los términos en el sistema inercial que producimos los términos de Coriolis, etc.

Básicamente, es de hecho un resultado inercial ya que se diferenció en el sistema inercial, a pesar de que el vector de posición se escribió en el sistema de coordenadas polares rotativas.

keith · Answer 4

En el espacio euclidiano, un punto a menudo se describe con coordenadas cartesianas. Estas coordenadas tienen vectores unitarios que no cambian con el tiempo y la posición: $\bf{e}_{x}$ , $\bf{e}_{y}$ y $\bf{e}_{z}$ . Existen descripciones alternativas para describir este punto de manera más conveniente dependiendo del problema.

Coordenadas cilíndricas: enlace de Wikipedia (Cilíndricas)

Con vectores unitarios $\bf{e}_{\theta}$ , $\bf{e}_{r}$ y $\bf{e}_{z}$

Coordenadas esféricas: enlace de Wikipedia (esférico)

Con vectores unitarios $\bf{e}_{\theta}$ , $\bf{e}_{r}$ y $\bf{e}_{z}$

Podemos notar que estos vectores unitarios cambian con el tiempo y con la posición con respecto al origen.

Si describimos la posición de un punto en el espacio con Cartesiano o con Cilíndrico:

PAG = X {mi}_{X} + y {mi}_{y} + z {mi}_{z} = r {mi}_{θ} + θ {mi}_{r} + z {mi}_{z}

$P=x {\bf{e}_{x}}+y {\bf{e}_{y}} + z {\bf{e}_{z}}= r {\bf{e}_{\theta}}+\theta {\bf{e}_{r}}+z \bf{e}_{z}$

Puedes mirar este enlace para la derivación de $\dot{P}$ y $\ddot{P}$ , dónde:

\dot{PAG} = \dot{X} {mi}_{X} + \dot{y} {mi}_{y} + \dot{z} {mi}_{z} = \dot{r} {mi}_{θ} + r \dot{θ} {mi}_{r} + \dot{z} {mi}_{z}

$\dot{P}=\dot{x} {\bf{e}_{x}}+\dot{y} {\bf{e}_{y}} + \dot{z} {\bf{e}_{z}}= \dot{r} {\bf{e}_{\theta}}+r\dot{\theta} {\bf{e}_{r}}+\dot{z} \bf{e}_{z}$

\ddot{PAG} = \ddot{X} {mi}_{X} + \ddot{y} {mi}_{y} + \ddot{z} {mi}_{z} = (\ddot{r} - r {\dot{θ}}^{2}) {mi}_{θ} + (2 \dot{r} \dot{θ} + r \ddot{θ}) {mi}_{r} + \ddot{z} {mi}_{z}

$\ddot{P}=\ddot{x} {\bf{e}_{x}}+\ddot{y} {\bf{e}_{y}} + \ddot{z} {\bf{e}_{z}}= (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) {\bf{e}_{\theta}}+(2\dot{r}\dot{\theta} +r\ddot{\theta}){\bf{e}_{r}}+\ddot{z} \bf{e}_{z}$

Como puedes ver solo estoy describiendo la cinemática de un punto con respecto a un origen estático. Eso significa que estoy en un marco de referencia inercial midiendo la posición, la velocidad y la aceleración solo con un nuevo tipo de regla.

No estoy en un marco de referencia giratorio, si está interesado en ese tipo de marco de referencia no inercial, vaya a este enlace .

En su ejemplo con el automóvil, si el automóvil está girando, respete un punto. Puedo describir su movimiento con coordenadas cilíndricas, pero como dije antes, solo estoy usando otro tipo de regla. También puedo usar coordenadas cartesianas, pero las cosas serán mucho más complejas.

Dicho esto, como estoy en un marco de referencia inercial estacionario, las leyes de Newton se mantienen sin correcciones. Esta aceleración de Coriolis es verdadera , como puede ver en la derivación, si desea saber por qué a veces se denomina aceleración ficticia, lea este enlace . Pero eso es cuando estoy en un marco de referencia no inercial, en particular rotando.

Esto podría ser un malentendido si piensas que esto es una aceleración ficticia en todos los marcos de referencia, es como decir que mido todos los tiempos en coordenadas cartesianas una aceleración "Ficticia" cuando estoy en un Tren acelerado. Eso es porque lo llamo "Aceleración del tren" y tiene la misma notación matemática que la verdadera aceleración real medida desde un sistema inercial.

Aceleración ficticia del tren: $\vec{a}_{\text{tr}}=\ddot{\vec{a}}$

Aceleración inercial: $\vec{a}=\ddot{\vec{a}}$

Son lo mismo porque la letra del final es la misma y lo llamo Aceleración del tren y es ficticio, por lo que es alllays presente en coordenadas cartesianas. FALSO

Stan Liou · Answer 5

Seamos claros con la terminología aquí, porque tomado literalmente, su pregunta es un poco como preguntar si el momento angular es verde o no verde.

Las coordenadas polares existen en el espacio. Curvas de constante $r$ son circulares y curvas de constante $\theta$ son radiales, de la forma habitual. Tomando sus vectores tangentes y normalizándolos, obtenemos $\hat{\mathbf{e}}_\theta$ y $\hat{\mathbf{e}}_r$ como siempre. No "siguen" al coche. Ni siquiera son vectores individuales, porque varían según su ubicación en el plano euclidiano. Por lo tanto, son campos vectoriales sobre todo el espacio.

Por lo tanto, las coordenadas polares no constituyen ni un marco inercial ni un marco no inercial porque no son un marco.

Un marco consistiría en campos vectoriales sobre el espacio-tiempo, pero debido a que el tiempo es realmente simple en la mecánica newtoniana, podemos pensar en esto como un mapeo desde el tiempo $t$ a un par de campos vectoriales uniformes sobre el espacio. Si queremos usar coordenadas polares aquí, entonces:

t \mapsto ({\hat{mi}}_{r} (t), {\hat{mi}}_{θ} (t)) .

$t\mapsto (\hat{\mathbf{e}}_r(t),\hat{\mathbf{e}}_\theta(t))\text{.}$ Piense en el marco como la asignación de tiempo a campos vectoriales en el espacio. Esta asignación puede ser inercial o no inercial.

Ahora, me pregunto por qué [el término de Coriolis $2 \dot{r} \dot{\theta}\hat{\mathbf{e}}_\theta$ ] de hecho aparece en la expresión. Porque según tengo entendido, un sistema giratorio no es inercial. Entonces, ¿cómo pueden las mediciones de la aceleración del automóvil realizadas en ese sistema rotatorio no inercial explicar y coincidir perfectamente con la aceleración del automóvil observada en el sistema del observador estacionario?

Entonces, básicamente estás preguntando por qué la ecuación $\ddot{\mathbf{x}} = (\ddot{r} - r\dot{\theta}^2) \hat{\mathbf{e}}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\mathbf{e}}_\theta$ es correcto de cualquier manera. La razón es simple: es correcto para coordenadas polares en general.

En un marco de co-rotación con coordenadas polares alrededor del centro de la pista, el automóvil tiene $r\dot\theta = 2\dot{r}\dot{\theta} = 0$ porque $\dot\theta = 0$ para la trayectoria del coche. Por lo tanto, tenemos que agregar fuerzas centrífugas y de Coriolis a nuestra segunda ley de Newton para "arreglar" esto.

Ahora claramente, dado que la aceleración de Coriolis es de hecho aparente en la expresión de la aceleración, nos dice que el sistema giratorio es inercial, ...

No lo hace, porque la expresión es completamente independiente del marco. No se trata de marcos en absoluto.

... por lo que las observaciones realizadas en ese sistema rotatorio son las mismas que en el estacionario. ¿Cómo? Obviamente me estoy perdiendo algo aquí. ¿Qué?

En lo anterior, he evitado intencionalmente equiparar la aceleración de coordenadas $\ddot{\mathbf{x}}$ con la aceleración $\mathbf{a}$ , porque quería reservar este último para la aceleración absoluta . Si asignamos esas interpretaciones para estos símbolos, entonces (1) en un marco inercial, $\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{x}}$ , mientras que (2) en el marco co-rotante, $\mathbf{a} \neq \ddot{\mathbf{x}}$ porque hay que sumar los términos centrífugos y de Coriolis del carro (marco) a la segunda ley de Newton.

Juan Darby · Answer 6

Consulte la discusión en ¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis cuando se derivan las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares? . El punto principal es que en un marco inercial los vectores unitarios de coordenadas polares cambian de dirección.

¿El sistema de coordenadas polares es inercial o no inercial?

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