El principio de equivalencia: por qué los objetos caen al mismo ritmo

La masa de la tierra en realidad no define cuál de los dos cuerpos (pluma o bala de cañón) cae primero. El problema es un poco más profundo que eso, y en realidad es la razón detrás de la Relatividad General y, en general, de todas las formulaciones geométricas de la gravedad .

En términos generales, la forma en que se mueven las masas depende únicamente de las propiedades locales del campo gravitatorio, independientemente de su masa. Esta observación condujo a Einstein a la formulación del Principio de Equivalencia , y es la razón por la que pensamos en la fuerza gravitacional como un reflejo de la curvatura local del espacio-tiempo.

Si está familiarizado con un poco de matemáticas, si$m_{\rm grav}$es la masa gravitacional de un cuerpo (mide cuánto se ve afectado por la gravedad) y$m_{\rm inertial}$es su masa inercial (medir lo difícil que es cambiar su estado de movimiento), entonces la segunda ley de Newton establece que cuando este cuerpo es la presencia de una masa$M$su aceleración sigue la expresión

Esto proporciona una forma de medir la relación en el laboratorio.

El resultado es que este número es uno con una precisión de 1 en 20 millones. Entonces estamos tentados a creer que efectivamente la masa inercial es lo mismo que la masa gravitatoria y, en consecuencia, que todas las masas se ven afectadas de la misma manera por la gravedad, o dicho en otras palabras, que la gravedad es una propiedad emergente de la geometría local del espacio-tiempo.

No, no tiene razón. La razón es que la masa gravitatoria de un objeto es igual a su masa inercial . Por lo que sabemos, esto es exacto y no hay ninguna aproximación involucrada además de la suposición de que no hay resistencia del aire.

Con más detalle: La fuerza de "jalón" gravitacional con la que la tierra (de masa$M$) tira de un objeto de masa (gravitacional)$m_g$A una distancia$r$desde el centro de la tierra, viene dada por:

Como puedes ver, esta fuerza depende de la masa del objeto y será mucho mayor para la bala de cañón que para la pluma. Solo pon una bala de cañón en tu cabeza y sentirás la diferencia en comparación con tener una pluma en la cabeza.

De acuerdo con la ley de Newton, esta fuerza hace que el objeto se acelere con aceleración:

Haciendo uso del hecho de que$m_g=m_i$, encuentras a partir de estas dos ecuaciones que la aceleración es independiente de la masa del objeto y solo depende de la distancia a la Tierra:

O en palabras:

1. La Tierra tira más fuerte (mayor fuerza) sobre objetos más pesados
2. Los objetos más pesados ​​son más difíciles de mover (requieren más fuerza para acelerar)

Milagrosamente, por razones desconocidas, resulta que estos dos efectos simplemente se cancelan entre sí, de modo que la aceleración es la misma para objetos más pesados ​​y más livianos.

Sí, tiene razón. El pozo de gravedad de la tierra es significativamente mayor que el de la pluma y la bala de cañón. Como tales, viajan a lo largo de geodésicas casi idénticas a una velocidad casi idéntica.