¿El operador de inversión de tiempo conmuta o anticonmuta con la derivada de tiempo total?

Me pregunto si el operador de inversión de tiempo T conmuta o anticonmuta con el operador de derivada temporal. Por un lado creo que viajan, porque

T d d t F ( t ) = T límite Δ → 0 F ( t + Δ ) − F ( t ) Δ = eso espero límite Δ → 0 T F ( t + Δ ) − F ( t ) Δ = límite Δ → 0 F ∗ ( t + Δ ) − F ∗ ( t ) Δ ∗ = t ∈ R límite Δ → 0 F ∗ ( t + Δ ) − F ∗ ( t ) Δ = d d t T F ( t )
para cada función F ( t ) .

Por otro lado, para cada función de onda válida F ( X , t ) la ecuación de Schrödinger

i ℏ d d t F ( X , t ) = H F ( X , t )
tiene, lo que significa que puedo reemplazar H con i ℏ d d t cuando actúa sobre una función de onda válida. Si ahora tenemos un sistema que tiene invariancia de inversión de tiempo, sabemos que el hamiltoniano H conmuta con el operador de inversión de tiempo, lo que significa que
i ℏ d d t T = H T = T H = T i ℏ d d t = − i ℏ T d d t
Lo que significa que T y d d t anticonmutación

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cuál es la regla de (anti)conmutación para el operador de inversión de tiempo y la derivada de tiempo?

Buena pregunta (+1), pero me parece que es un duplicado del efecto de inversión del tiempo en la derivada del tiempo en la mecánica cuántica , ¿no crees?

Respuestas (1)

Tu primera ecuación es incorrecta. Definir gramo = T F . Aplicación de la regla de diferenciación básica ( tu ∘ v ) ′ ( t ) = tu ′ ( v ( t ) ) v ′ ( t ) para funciones compuestas a gramo ( t ) = F ∗ ( − t ) , tenemos

( T F ) ′ ( t ) = gramo ′ ( t ) = regla − ( F ∗ ) ′ ( − t ) = − ( F ′ ) ∗ ( − t ) = − ( T ( F ′ ) ) ( t )
para todos t , por eso ( T F ) ′ = − T ( F ′ ) .

Gracias por tu sugerencia. Pero si defines gramo := T F entonces gramo ( t ) = F ∗ ( t ) y no F ( − t ) .
¿No está cambiando la inversión del tiempo? t en − t ? Véase, por ejemplo , T-simetría .
No. El operador que en la literatura se llama "operador de inversión de tiempo" es solo un operador antiunitario bajo el cual los estados propios espaciales son invariantes, es decir T | X ⟩ = | X ⟩ . Si F ( X , t ) es una función de onda, entonces T F ( X , t ) = F ∗ ( X , t ) . La inversión del argumento temporal es necesaria para obtener una función de onda "física", pero no es el trabajo del operador de inversión de tiempo.
¿Estás seguro de la señal de t ? Esta referencia dice T F ( X , t ) = F ∗ ( X , − t ) . estaba considerando real F en mi respuesta, pero el resultado sigue siendo el mismo para no real F .
@psicolor Agregué el caso conjugado a mi respuesta para que sea correcto para todas las funciones de valor complejo. Como puede ver, la conclusión sigue siendo la misma: ( T F ) ′ = − T ( F ′ ) .
Estás malinterpretando la referencia, pero debo admitir que este es el caso común. El nombre como "operador de inversión de tiempo" es engañoso, un nombre más práctico sería "operador de inversión de impulso", pero por razones históricas, todos usan el primero. La referencia dice que la operación de simetría que invierte los mapas de tiempo F ( X , t ) a F ∗ ( X , − t ) . Esto es correcto, pero no lo es, lo que hace el operador de inversión de tiempo (que debería llamarse mejor "operador de inversión de impulso").
No veo cómo lo que dice se conecta con la referencia de simetría T que mencioné anteriormente, que dice "En física teórica, la simetría T es la simetría teórica de las leyes físicas bajo una transformación de inversión de tiempo: T : t ↦ − t ". Tal vez podría señalar una referencia que menciona explícitamente que t ↦ t bajo inversión de tiempo (o inversión de tiempo)?
Tienes razón en que los mapas de inversión de tiempo t → − t , ¡pero el operador que se llama "operador de inversión de tiempo" u "operador de inversión de tiempo" no lo hace! Si ψ ( X , t ) es una función de onda válida, entonces la función de onda invertida en el tiempo es T ψ ( X , − t ) = ψ ∗ ( X , − t ) . La referencia que mencionas lo explica. Léalo de nuevo, pero tenga en cuenta que la inversión real del argumento temporal no es lo que hace el "operador de inversión de tiempo". El operador de inversión de tiempo simplemente invierte las velocidades, nada más. Para obtener una película que tenga sentido, también debe invertir el t argumento.
Bueno, entonces, ¿cómo viene la discrepancia de su pregunta? Además, me parece extraño que si la única acción de T es tomar el conjugado (eso es todo lo que hace en su pregunta), no necesita un operador específico, solo use la función conjugada. Por cierto, no veo lo que mencionas en la referencia que di, ¿dónde está?
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