El omnipresente Planewave Ansatz

En muchos casos nuestros sistemas se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales, y estas tienen la propiedad de que cualquier combinación lineal de soluciones a la ecuación diferencial es también una solución a la ecuación diferencial.

Esto es útil porque, por lo general, cualquier solución arbitraria puede transformarse en Fourier para expresarla como una suma de ondas planas. Entonces, si podemos encontrar soluciones de ondas planas para nuestro LDE, podemos combinarlas para crear soluciones más complicadas.

John ha respondido esto parcialmente, sin embargo, falta la idea matemática fundamental:

Si pensamos que una función es miembro de algún espacio vectorial, entonces existen vectores base. Este concepto seguramente te resultará familiar de la mecánica cuántica.

Pero también a partir de ahí recordamos que los problemas eran mucho más fáciles de manejar, si conocemos la base propia de los operadores que arrojamos sobre las funciones. Luego simplemente cambiamos la base de las funciones a los operadores Eigenbasis y terminamos.

¿Cómo hacemos esto? ¿Cómo construimos el espacio propio para los operadores diferenciales que componen las ecuaciones diferenciales? Pensemos en ello... Primero expresemos el problema de valores propios en notación abstracta

$$\hat{O} f=cf$$ y luego poner en que usamos $\hat{O} = d/dx$: $$\frac{df}{dx} = c f$$ ¡E inmediatamente vemos que esta es una ecuación conocida! para lo cual la solución es $f \sim exp(cx)$

Así sabemos que si tratamos con operadores diferenciales lineales, una base exponencial siempre facilitará nuestros cálculos. Todo lo que tenemos que hacer es usar los argumentos adecuados.$c$para ajustarse al orden de la ecuación (es decir, agregue algunos$i$s o$\pm$).

La libertad de elegir$c$porque este método que todavía funciona ha dado lugar no sólo a la transformada de Fourier y sus propiedades descritas por John, sino también a la transformada de Laplace .

Al elegir$c$apropiadamente estamos haciendo también una 'conjetura informada' sobre la forma de nuestra solución exponencial. Por ejemplo un DEQ

$$\partial_t^2 f + \partial_x^2 f=0$$ dará soluciones oscilatorias para $c=i(kx \pm \omega t)$, pero algo que tiene un punto de 'comienzo' y luego decae o crece para c's reales. Esa es la idea de una transformada de Laplace. También puede buscar los ejemplos en la página wiki (desplácese hacia abajo).

---

Con respecto a tu otra pregunta:

El ansatz de onda plana seguramente falla tan pronto como las no linealidades ingresan a la ecuación diferencial, como esta ecuación de Navier-Stokes 1-D simplificada al máximo:

$$\partial_t v + v \partial_x v = 0$$ Ya cualquier intento de usar una transformada de Fourier de $v$no dará como resultado una ecuación resoluble algebraicamente.
Los modeladores numéricos abordan este problema ee mediante métodos pseudoespectrales , donde toda la ecuación se transforma por Fourier excepto las no linealidades. Estos se calculan en el espacio real y luego se transforman numéricamente.

El otro problema que mencionaste del infinito, también puede verse como un problema de escala: con un tamaño de caja$L$en el que desea resolver su problema, siempre obtendrá efectos de discretización de las ondas que se tambalean en este cuadro. Sin embargo, si los números de onda$k << L$entonces su densidad de ondas es lo suficientemente alta como para poder obtener un resultado físicamente significativo. La corrección aumenta entonces cuanto mejor se cumple la condición anterior.

Hay algunas situaciones en las que la onda plana ansatz es útil. Es una solución a muchas ecuaciones de onda. Las ondas planas también son familiares y tenemos técnicas matemáticas para manejarlas, como las series de Fourier.

Sin embargo, en algunas situaciones puedes equivocarte bastante usando el ansatz de onda plana. En particular, cuando la onda interactúa con una estructura que tiene características del orden del tamaño de la longitud de onda, es posible que tenga un problema. Discutiré el caso de las rejillas de difracción donde este tema se ha discutido en detalle. Algo de esto puede ser aplicable a cualquier problema que le interese.

Considere el caso de un campo electromagnético incidente en una rejilla de difracción con un período similar al del campo incidente y una profundidad similar a su longitud de onda. El campo cerca de esa estructura a menudo tiene una expansión de onda plana que no se comporta bien. Suponga que la expansión de la onda plana tiene amplitudes$\alpha_j$para$j = 1\dots\infty$. La secuencia de$\alpha_j$es convergente si$\lim_{j\to\infty} = \alpha$por algo finito$\alpha$. Si toma un conjunto finito de esos términos y los suma, entonces tiene una serie$A_N = \sum_{j=1}^N\alpha_j$. Esa serie es convergente si$\lim_{N\to\infty} = A$por algo finito$A$. En general la sucesión puede converger mientras que la serie diverge o viceversa. O pueden converger a diferentes valores. Ver

JP Hugonin, R. Petit y M. Cadilhac, "Expansiones de ondas planas utilizadas para describir el campo difractado por una rejilla", JOSA, vol. 71, Número 5, págs. 593-598 (1981)

para más discusión.

En los casos en que los métodos de ondas planas para calcular cantidades de interés no funcionen, otros métodos pueden ser útiles. Por ejemplo, el método de Chandezon para calcular el campo difractado por una rejilla con un perfil suave independientemente de la profundidad de la rejilla. El método de Chandezon consiste en reescribir las ecuaciones de Maxwell en un sistema de coordenadas en el que la rejilla es plana y luego expandir la onda en ese sistema de coordenadas. Para una discusión sobre cómo implementar el método Chandezon ver

Lifeng Li, Jean Chandezon, Gérard Granet y Jean-Pierre Plumey, "Método de análisis de red riguroso y eficiente simplificado para los ingenieros ópticos", Applied Optics, vol. 38, Número 2, págs. 304-313 (1999).

Para una comparación entre el método de Chandezon y el método de expansión de ondas planas, consulte

http://www.ip.univ-bpclermont.fr/Personnel/Kofi.Edee/rayleih_method_C.pdf .