Disparar una bala a un sistema de bloques [cerrado]

Primero, usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento :

$P_{initial} = P_{final}$

$P_{initial} = mv_i$(ya que solo se mueve la bala)

$P_{final} = (m_1 + m)u$, donde he presentado$u$como la velocidad de la masa 1 y el sistema de bala después de la colisión. No he incluido la masa 2 aquí porque no hay fricción entre la masa 1 y la masa 2.

Igualando da:

$mv_i = (m_1 + m)u$, y resolviendo para$u$da:

$u = \frac{mv_i}{(m_1 + m)}$

Ahora bien, esta es la velocidad del bloque inferior inmediatamente después de que la bala lo golpea. Luego disminuirá la velocidad debido a la fricción, con una aceleración$a$. Necesitamos que el bloque se detenga, después de recorrer una distancia de$L/2 + L/8$. La razón de esto es que el borde izquierdo del bloque superior está$L/2$desde la izquierda del bloque inferior, y el centro de gravedad es un adicional$L/8$unidades desde este borde izquierdo. Por lo tanto, el bloque inferior debe moverse una distancia de$5L/8$antes de venir a descansar.

Usamos la siguiente ecuación para establecer la distancia que recorre el bloque antes de detenerse:

$v^2 = u^2 + 2as$

Por lo tanto,

$0 = \frac{m^2v_i^2}{(M_1 + m)^2} + 2a\frac{5L}{8}$

Por lo tanto,

$\sqrt{-a\frac{5L(M_1 + m)^2}{4m^2}} = v_i$

Podemos escribir la aceleración en términos del coeficiente de fricción.

$a = -\frac{\mu N}{M_1 + m} = -\frac{\mu g(M_1 + M_2 + m}{M_1 + m}$(Esta vez he incluido M_2, ya que esto contribuye a la fuerza normal).

Por lo tanto,

$v_i = \sqrt{\frac{5L\mu g (M_1+M_2+m)(M_1 + m)^2}{4m^2(M_1 + m)}} = \sqrt{\frac{5L\mu g (M_1+M_2+m)(M_1 + m)}{4m^2}}$

que es la velocidad de la bala necesaria para desplazar la masa del fondo una distancia de$5L/8$, lo que provocará que el bloque superior se caiga.