¿El lagrangiano contiene toda la información sobre las representaciones de los campos en QFT?

Lo que dijo Qmechanic en los comentarios es bastante sólido, "Lagrangian (2) no está acotado desde abajo porque el término cinético de$A_0$el campo tiene el signo incorrecto y, por lo tanto, la teoría no es física en primer lugar", pero creo que su Pregunta necesita un cambio de énfasis. Su Lagrangiano nos permite construir cuatro ecuaciones de movimiento para cuatro campos que no interactúan. Que la cinética la energía no está limitada por debajo no importa para una teoría de campo clásica si no hay interacciones.Podemos decir que$A_\mu$se transforma como un cuadrivector de Minkowski. Pero no podemos hacer ninguna física clásica significativa con él porque cualquier sistema de interacción invariante de Lorentz sería inestable, y tiene que haber interacciones de algún tipo (para que podamos discutir la medición del campo usando sus efectos en otros campos , por ejemplo, en lugar de simplemente hablar de ello como un objeto teórico).

En el contexto QFT, sin embargo, tenemos que construir un producto interno semidefinido positivo (sobre el espacio de la función de prueba, esencialmente el conmutador del operador de creación/aniquilación tiene que ser semidefinido positivo en el espacio de coordenadas de 4 impulsos) para que podamos ser capaz de construir un espacio de Fock, lo que no podemos hacer para Lagrangian (2) incluso si no hay interacciones. Es decir, QFT impone un requisito adicional incluso para un campo cuántico libre, lo que nos obliga a la ecuación de Proca o a la ecuación de Maxwell para el espín 1, porque además de una dinámica también necesitamos una interpretación de probabilidad para observables (que es lo que el nos da la estructura espacial de Hilbert).

EDITAR: para simetrías locales, si usamos un espacio vectorial n-dimensional en cada punto, entonces la estructura se define por las formas en que usamos la métrica u otras formas multilineales para construir un producto interno semidefinido positivo sobre el espacio vectorial en un punto Si usamos la métrica para construir términos que se pueden escribir usando la métrica de Lorentz, como$g^{\mu\nu}A_\mu A_\nu$, entonces el campo en un punto puede tomarse como una representación vectorial del grupo de Lorentz; si usamos la métrica para construir multinomios en$A_{\mu\nu}$, entonces tenemos un campo que tiene una estructura tensorial, etc. Si en cambio introducimos un tensor bilineal constante diferente$h^{\alpha\beta}$y usa el formulario$h^{\alpha\beta}A_\alpha A_\beta$, entonces el campo es una representación vectorial de cualquier simetría$h$posee; si usamos algún multinomio de mayor grado en componentes$A_a$, entonces el campo es un espacio de representación de cualesquiera que sean las simetrías de ese multinomio de mayor grado.

Recordando, sin embargo, que tenemos que tener una energía semidefinida positiva para la Física, lo que requiere trabajo cuando partimos de una métrica indefinida.

También hay un aspecto global del espacio de Hilbert, en el caso cuántico, que no está determinado por el Lagrangiano, al menos en la medida en que también hay que especificar el estado de vacío, un estado térmico o algún otro estado como estado de energía más bajo. .

Campo$\psi_{a_{1}...a_{n}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{m}}$con un espín y una masa dados (es decir, un campo que se transforma bajo irrep del grupo de Poincaré) debe satisfacer unas condiciones determinadas llamadas condiciones de irreductibilidad:

En cuanto a los detalles, busque aquí la información sobre índices y representaciones de Lorentz y aquí los campos como representaciones del grupo de Poincaré.

Si construyes el lagrangiano que conduce a$(1), (2)$, determinará de forma única las propiedades de transformación del campo con una masa y un espín dados.