El conjunto de todas las cifras de un número real

El conjunto de todos los dígitos decimales de un número real es ciertamente contable, ya que se pueden poner en correspondencia 1 a 1 con los enteros positivos: podemos definir el primer dígito, el segundo dígito, el tercer dígito y así sucesivamente.

Tenga en cuenta que esto no significa que todos los números reales sean computables; aunque los dígitos de un número son contables, no existe necesariamente un algoritmo para calcularlos.

Bueno, los dígitos son solo$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$así que hay como máximo diez. Creo que lo que quisiste decir es decir es la secuencia$\{a_i\}$dónde$a_i$es el$i$-ésimo dígito contable.

La respuesta es... Sí.... Están indexados en una lista uno tras otro y por lo tanto están en correspondencia 1-1 con$\mathbb N$con$a_i \leftrightarrow i$. Puedes .... contarlos ... "después de la$1,257$el dígito que es$5$, es el$1,258$el dígito que es$2$y luego el$1,259$el dígito es...."

Esto es absolutamente cierto y tus pensamientos son correctos.

Tal vez estés pensando que si la secuencia que forma el número real es contable, eso debería significar que la cantidad de números reales (o equivalentemente, la cantidad de posibles secuencias contables) también debería ser contable. Pero sabes que hay una regla escrita en piedra "los números reales son incontables" y te preguntas dónde está tu error.

No se trata de que el número de secuencias contables deba ser contable. Solo hay un número infinito de números finitos, hay un número incontable de secuencias contables. Y las razones son un poco similares.

Si$n$fue el último número finito entonces obtenemos una contradicción cuando consideramos$n+1$que también es un número finito. Entonces no puede haber un último número finito. Entonces el número de números finitos es infinito.

Si$\{s_1, s_2, ........\}$eran una lista contable de todas las secuencias contables. entonces la secuencia$t$dónde$t_i \ne s_{i_i}$no estará en la lista. Pero es una sucesión contable. Entonces, el número de secuencias contables es incontable.

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Ah, y por cierto, sí, la cantidad de secuencias contables de diez dígitos es la misma que la cantidad de números reales y podemos poner las secuencias contables en una representación decimal y hacer eso para cada número real para que haya un 1-1 correspondencia entre toda sucesión contable de cifras y números reales. Pero no voy a probar o argumentar eso aquí.

Decir$x$es un número real. Entonces el conjunto$D_x$de dígitos de$x$es (al menos para una representación ádica de 10 de$x$) un subconjunto del conjunto finito$\{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$y por lo tanto$D_x$debe ser finito y, por lo tanto, también contable.