El casco convexo de los vértices de un hipercubo contiene el hipercubo

La inducción en la dimensión funciona bien. El punto$(x_1, \ldots, x_n) \in [0,1]^n$es una combinación convexa de los puntos$(x_1, \ldots, x_{n-1}, 0)$y$(x_1, \ldots, x_{n-1}, 1)$, que se encuentran en las caras superior e inferior del hipercubo y por tanto por inducción en la envolvente convexa de los vértices superior e inferior respectivamente.

La combinación convexa resultante viene dada explícitamente por

$$x = \sum_{p \in \{0,1\}^n}\left(\prod_{i=1}^n(1-|x_i-p_i|)\right)p~.$$

Puede demostrar que el producto de cascos convexos es igual al casco convexo de productos

$$\prod_{i=1}^n \operatorname{co}(A_i) = \operatorname{co}(\prod_{i=1}^n A_i)$$

Demuestre que para el producto de$2$conjuntos, luego use la inducción. Vamos a mostrar

$$\operatorname{co}(A)\times \operatorname{co}(B) = \operatorname{co}(A\times B)$$

Claramente,$\operatorname{co}(A)\times \operatorname{co}(B)$es convexa y contiene$A\times B$, por lo que contiene$\operatorname{co}(A\times B)$. Así que sólo la inclusión

$$\operatorname{co}(A)\times \operatorname{co}(B) \subset \operatorname{co}(A\times B)$$ queda por demostrar. Ahora deja$x= \sum_{a\in A} \lambda_a\, a \in \operatorname{co}(A)$,$y = \sum_{a\in A} \mu_b\, b \in \operatorname{co}(B)$. Ahora comprobamos que $$(x,y) = \sum_{(a,b)\in A\times B} \lambda_a \cdot \mu_b\, (a,b)$$

$\bf{Added:}$La solución anterior proporciona una escritura que implica$2^n$términos. Pero podemos proporcionar un escrito con$n+1$términos. para dejar$x=(x_1, \ldots, x_n)$en la unidad$n$cubo dimensional. Asumir que

$$x_1\le x_2 \le \ldots x_n$$ Entonces$x_k = \lambda_1 + \cdot + \lambda_k$, dónde$\lambda_i \in [0,1]$,$i=1, n$. Entonces nosotros tenemos $$(x_1, \ldots, x_n) = (\lambda_1, \lambda_1 + \lambda_2, \ldots, \lambda_1 + \cdots \lambda_n) = \\ = \lambda_1 (1,\ldots, 1) + \lambda_2 (0,1,\ldots, 1) + \cdots \lambda_n(0,\ldots, 0,1) + (1-\lambda_n)(0,0,\ldots,0)$$