Ejemplos de super y submartingala, que no es un paseo aleatorio, ni una función de tal

Question

Ejemplos de super y submartingala, que no es un paseo aleatorio, ni una función de tal

martingalas
Matemáticas
probabilidad
Caminata aleatoria
expectativa condicional
ejemplos-contraejemplos

violapterina

una martingala $X_n$ se define por estas condiciones:

(yo) que $E|X_n| <\infty$

(ii) Que $X_n$ está adaptado a $\mathcal{F}_n$ (filtración, es decir, secuencia de álgebras sigma)

(iii) Que $E(X_{n+1} | \mathcal{F}_n) =X_n$ para todos $n$

Si " $\leq$ " en (iii), $X_n$ es una supermartingala. Si " $\geq$ " en (iii), $X_n$ es una submartingala.

Para más detalles, véase Richard Durrett, Probability: Theory and Examples p.198ff. (<-- Esta es una copia legal cargada por el propio autor). Por brevedad, no repetiré aquí.

A estas alturas, parece que tengo poca comprensión de esta cosa abstracta, debido a la falta de ejemplos...><

De hecho, es fácil ver, si $X_n$ es una suma iid de rvs, cada una con expectativa positiva, entonces $X_n$ es una submartingala. Lo mismo es cierto para "expectativa cero" y "martingala". Lo mismo es cierto para la "expectativa negativa" y la "supermartingala".

Por ejemplo, $X_n =\xi_1+\dotsb+\xi_n$ , dónde $\xi_i$ todo iid, observando a Bernoulli, con valor $\pm 1$ , ambos probabilidad 1/2. Entonces $X_n$ es una martingala. Si $\xi_i =1$ para probabilidad $>1/2$ , $X_n$ es una supermartingala. Si $<1/2$ , $X_n$ es una submartingala.

Y el thm 5.2.3 del libro de Durrett establece que: Si $X_n$ es una martingala y $\varphi$ es una función convexa con $E|\varphi(X_n)| < \infty$ para todos $n$ , entonces $\varphi(X_n)$ es una submartingala con la misma filtración. Lo mismo ocurre con la "función cóncava" (todavía en aumento) y la "supermartingala".

Sin embargo, estas condiciones parecen representar solo un pequeño subconjunto de (super, sub) martingalas, y mi imaginación es limitada. ¿Hay ejemplos de martingalas, supermartingalas y submartingalas que no sean un paseo aleatorio (iid suma de rvs), ni sean funciones de un paseo aleatorio (explotando el hecho del último párrafo)?

Respuestas (2)

Ejemplos de super y submartingala, que no es un paseo aleatorio, ni una función de tal

saz · Answer 1

Dejar $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ Sea un espacio de probabilidad.

Ejemplo 1: Para cualquier filtración $(\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}$ y cualquiera $X \in L^1$ el proceso $M_n := \mathbb{E}(X \mid \mathcal{F}_n)$ es una martingala.

Ejemplo 2: Deja $(\mathcal{F}_n)_{n \geq 1}$ ser una filtración y $\mu$ una medida finita en $\mathcal{F}_{\infty} := \sigma(\mathcal{F}_n; n \geq 1)$ . Asumir que $\mu|_{\mathcal{F}_n}$ es absolutamente continua con respecto a $\mathbb{P}|_{\mathcal{F}_n}$ , y se denota por $M_n$ la densidad de Radon-Nikodym. Entonces $(M_n)_{n \geq 1}$ es una martingala.

Ejemplo 3: Considere $\Omega := (0,1)$ dotado con la medida de Lebesgue, y dejar $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq (0,1)$ ser una secuencia de números monótonamente decrecientes. Entonces

{METRO}_{norte} := \frac{1}{a_{norte}} 1_{(0, a_{norte})}

$M_n := \frac{1}{a_n} 1_{(0,a_n)}$ es una martingala.

@ColinMcQuillan La filtración canónica $\mathcal{F}_n := \sigma(M_1,\ldots,M_n)$ ; vea esta pregunta: math.stackexchange.com/q/919324/36150
@ColinMcQuillan Si $(M_n)$ es una martingala con respecto a $\mathcal F_n$ , entonces no es difícil demostrar que $(M_n)$ es también una martingala con respecto a $\tilde F_n:=\sigma(\{M_t:t\le n\})$ . Por lo tanto, podemos llamar a un proceso $(M_n)$ una martingala sin referencia a un $\sigma$ -campo, y no perdemos generalidad al hacerlo.

Juan Dawkins · Answer 2

Ejemplo: Considere un tazón que contiene $N$ canicas numeradas $1,2,\ldots,N$ . Elija canicas del cuenco al azar, sin reemplazo, hasta que todas hayan sido elegidas. Dejar $X_k$ ser el número en el $k$ la canica seleccionada, y dejar $\mathcal F_n:=\sigma\{X_k: k=1,2,\ldots,n\}$ para $n=1,2,\ldots,N$ . Definir el evento $B:=\{X_N=1\}$ (Esta elección de $B$ es más o menos arbitraria.) La secuencia de variables aleatorias $M_n:=\Bbb E[B\mid\mathcal F_n]$ , $n=1,2,\ldots,N$ , es una martingala.

Ejercicio: Demuestra que $M_n=\prod_{k=1}^n 1_{\{X_k\not=1\}}\cdot(N-n)^{-1}$ para $n=1,2,\ldots,N-1$ .

Ejemplos de super y submartingala, que no es un paseo aleatorio, ni una función de tal

violapterina

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