¿Por qué dibujar círculos repetidamente alrededor de un punto crea un patrón de "anillo"?

Primero considere solo los segundos puntos en cada recorrido aleatorio. Su dirección desde el centro está (por simetría) uniformemente distribuida, pero la distancia $D$desde el centro se distribuye como$2|\sin(X/2)|$, dónde$X$es la variable aleatoria que denota la diferencia de ángulo entre los dos saltos. Esta distribución de probabilidad no cae suavemente; de ​​hecho, la densidad de probabilidad a distancia$D<2$debería ser algo como

$$\frac2\pi \frac{d}{dD}\arcsin\frac{D}{2} = \frac{2}{\pi\sqrt{4-D^2}}$$ que aumenta hacia el infinito cuando$D$enfoques$2$, pero luego de repente cae a cero probabilidad para$D>2$.

Esto crea el borde visible a distancia.$2$en tu parcela.

La densidad de probabilidad por área debe tener en cuenta además que hay más área a una distancia de 1,8 a 1,9 que a una distancia de 0,1 a 0,2, por lo que se convierte en$\frac{1}{\pi^2D\sqrt{4-D^2}}$. Esto va al infinito tanto en$D\to0$y$D\to 2$, y de hecho vemos un pico en la densidad justo en el centro.

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Para más de dos saltos, las cosas se vuelven menos dramáticas y también más complejas de calcular. Consideraré solo el comportamiento asintótico para puntos finales muy cercanos a las distancias máximas.

Para$n+1$salta, deja variables aleatorias$X_1, X_2, \ldots, X_n$ser los ángulos entre cada uno de los saltos no primeros y el primer salto. Estos son entonces independientes y cada uno distribuido uniformemente en$[-\pi, \pi]$. Como solo nos interesan los casos en los que terminamos muy cerca de la distancia máxima, podemos aproximar la distancia total como

$$D \approx 1 + \cos X_1 + \cdots + \cos X_n \approx n + 1 - \frac{X_1^2 + \cdots + X_n^2}2$$ Así, la probabilidad de aterrizar más cerca del máximo que$\varepsilon$es el volumen de un$n$-bola de radio$\sqrt{2\varepsilon}$, dividido por$(2\pi)^n$:

$$P(D>n+1-\varepsilon) \approx \frac{\varepsilon^{n/2}}{(2\pi)^{n/2}\Gamma(n/2 + 1)}$$

Esta probabilidad se distribuye sobre un anillo de área$2\pi(n+1)\varepsilon$, por lo que podemos estimar la densidad de probabilidad por unidad de área justo dentro del círculo máximo como:

$$\frac{\varepsilon^{n/2-1}}{(n+1)(2\pi)^{n/2+1}\Gamma(n/2 + 1)} \quad \text{as } \varepsilon\to 0$$

El exponente de$\varepsilon$es$n/2-1$, por lo que el comportamiento es cualitativamente diferente entre diferentes$n$.

• Para dos saltos ($n=1$), como hemos visto anteriormente, la densidad de puntos llega al infinito cerca del borde.

• Para tres saltos ($n=2$), la densidad se aproxima a un límite positivo finito cerca del borde, y luego de repente salta a$0$. Podemos ver un límite ligeramente más débil en el radio$3$en la trama

• Para cuatro saltos ($n=3$), la densidad queda como$\sqrt{\varepsilon}$, por lo que en realidad alcanza$0$continuamente. Pero justo en el borde, todavía varía lo suficientemente rápido como para que el límite se pueda discernir en la trama.

• En más de cuatro saltos, la densidad de probabilidad cae lo suficientemente suave hacia el límite que no se registra visiblemente como un borde .