Efecto Doppler en señales no periódicas

Me gustaría entender qué le sucede a una señal emitida por una fuente en movimiento y que llega a un receptor en movimiento. Pero, cuando busco en Internet sobre el efecto Doppler, solo puedo encontrar ecuaciones que vinculan la frecuencia recibida con la frecuencia emitida. Pero lo que quiero hacer aquí es simular el efecto Doppler en una señal aleatoria en Matlab.

Introducción

Mi idea era ver el efecto Doppler como una consecuencia del movimiento entre la fuente y el receptor, comencé escribiendo algo como esto:

Dónde$S_e$es la señal emitida,$S_r$la señal recibida y$\phi(t)$una función que da el tiempo de llegada de la señal emitida por la fuente en el tiempo$t$, creo que la cantidad$\phi(t) - t$se llama TDOA a veces. Como estoy usando física clásica aquí, tengo$\phi(t) = t + \frac{d_t(t)}{c}$dónde$d_t(t)$es la distancia absoluta recorrida por la señal emitida en el momento$t$entre la fuente y el receptor.

Aplicación a un problema simple

Consideremos ahora un emisor en movimiento y un receptor inmóvil. Para simplificar las cosas, ambos comienzan en el mismo punto con$d_e(0) = d_r(0) = 0$. Tomando un receptor inmóvil simplificará la fórmula de$d_t(t)$, porque en este caso$d_t(t) = v_et$. Bueno, solo tengo que aplicar mi fórmula ahora, y obtengo

Aplicación a la onda periódica

Bueno, traté de aplicar este enfoque simple a una onda periódica de frecuencia.$f_e$para tratar de encontrar la ecuación ( que es una ecuación estándar sobre el efecto Doppler ):

Entonces, acabo de tomar$S_e(t) = \cos\left(2\pi f_e t \right)$. Y luego :

Y finalmente estoy encontrando...$f_{r}=\frac {c-v_{e}}{c} \cdot f_{e}$.

Así que... exactamente lo contrario de lo que se suponía que debía encontrar. Y no entiendo por qué... (Lo mismo sucede cuando considero un receptor en movimiento). Entonces, mi primera pregunta sería saber dónde está mi error... Porque cuando estoy simulando este enfoque con Matlab, encuentro la respuesta correcta cuando uso una onda periódica. Así que para mí, este método parece funcionar...

Preguntas

• ¿Dónde está mi error al aplicar mi enfoque a las señales periódicas?
• ¿Es mi enfoque lo suficientemente bueno para modelar el efecto Doppler en cualquier tipo de onda? ¿Puedo generalizar aún más?
• ¿Cómo puedo generalizar para introducir la relatividad especial en mi ecuación (para trabajar con objetos rápidos como satélites)?

codigo fuente matlab

    %% Configuration
    vE = 80; % Source speed (m/s)
    c = 122; % Celerity (m/s)

    d0 = 0; % Initial distance between source and receiver (m)

    nT = 1500; % Number of visible periods

    Fc = 20; % Carrier frequency
    Tc = 1/Fc; % Carrier period

    Fs = 1000; % Sampling frequency

    %% Script

    % Create signal
    At_t = 0:1/Fs:nT*Tc;
    At = cos(2*pi*Fc*At_t);

    % Apply Doppler

    dp = abs(d0 - vE .* At_t);
    dt = dp ./ c;

    % Interpolation/Resampling
    do_At_t_temp = At_t + dt;

    do_At_t = min(do_At_t_temp):1/Fs:max(do_At_t_temp);
    do_At = interp1(do_At_t_temp, At, do_At_t);

    % Plot
    figure;
    plot(At_t, At); hold on;
    plot(do_At_t, do_At);
    grid;
    legend('Without doppler', 'With Doppler');

    figure;
    [pxx,f] = pwelch(At,[],[],[],Fs);
    plot(f, pxx); hold on
    [pxx,f] = pwelch(do_At,[],[],[],Fs);
    plot(f, pxx);
    legend('Without doppler', 'With Doppler');
    xlim([0, 3*Fc])
    grid;

    fprintf('Theorical values : %d Hz and %d Hz\n', round(Fc * c / (c - vE), 2), round(Fc * c / (c + vE), 2));

Este script parece dar el cambio de frecuencia correcto (de 20 Hz a 12,08 Hz)