Ecuaciones diferenciales en un circuito RC de descarga en paralelo

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Ecuaciones diferenciales en un circuito RC de descarga en paralelo

Física
potencial
capacidad
circuitos eléctricos
ecuaciones diferenciales

Ángel Di Bella

Considere el siguiente circuito RC como contexto:

Suponga que el circuito ha estado conectado durante mucho tiempo. Si el interruptor S se ha abierto en $t=0,$ la ecuación diferencial utilizada para resolver la carga en el capacitor $Q$ sería, usando la regla del bucle de Kirchhoff:

\frac{q}{C} - R \frac{d q}{d t} = 0, q (0) = C mi

$\frac{Q}{C}-R\frac{dQ}{dt}=0, \quad Q(0)=C\mathcal{E}$

ya que, descartando la porción a la izquierda del capacitor, la caída de voltaje a través del capacitor se opondría a la del resistor siguiendo el flujo de corriente en el sentido de las manecillas del reloj. Sin embargo, un profesor me dijo que la ecuación diferencial correcta en este caso sería:

\frac{q}{C} + R \frac{d q}{d t} = 0, q (0) = C mi

$\frac{Q}{C}+R\frac{dQ}{dt}=0, \quad Q(0)=C\mathcal{E}$ Simplemente no entiendo cómo la caída de voltaje del capacitor es negativa desde su placa inferior hasta la superior. ¿No actuaría igual que una batería? Es decir, ¿no agregaría el voltaje al circuito?

alfredo centauro

El problema aquí es que las polaridades de referencia para las variables de voltaje del capacitor y la resistencia no están marcadas en el esquema. Además, la corriente del capacitor

i_{C} = d Q / d t

$i_C = dQ/dt$ es la corriente hacia abajo a través del capacitor si

Q

$Q$ es la carga en la placa superior del capacitor. KVL luego da la ecuación que su profesor dijo que era correcta. He detallado todo esto en una respuesta.

Respuestas (4)

Ecuaciones diferenciales en un circuito RC de descarga en paralelo

El problema aquí es que las polaridades de referencia para las variables de voltaje del capacitor y la resistencia no están marcadas en el esquema. Además, la corriente del capacitor $i_C = dQ/dt$ es la corriente hacia abajo a través del capacitor si $Q$ es la carga en la placa superior del capacitor. KVL luego da la ecuación que su profesor dijo que era correcta. He detallado todo esto en una respuesta.

Triángulo de un ojo · Answer 1

Creo que su profesor tiene razón. La ecuación de bobD es correcta, pero lo que te falta es que la carga en el capacitor en ese momento es Q y, por lo tanto, la corriente que fluye en ese instante es $d(Q(0)-Q)/dt$ y eso da su ecuación correcta. Incluso si considera que su ecuación es correcta, cuando la integre, la carga aumentará exponencialmente, lo cual no es posible. ESPERO QUE ESTO AYUDE

Tenga en cuenta que las respuestas se pueden editar, por lo que la declaración "La ecuación de bobD es correcta" puede ser correcta, incorrecta o sin sentido si la respuesta de bobD se edita después de que la haya escrito.
@Alfred Centauri Gracias, me ocuparé de eso en las próximas preguntas.

Bob D. · Answer 2

En el momento t=0, la polaridad del voltaje del capacitor es la misma que la de la batería. Entonces, la batería se descarga con corriente que fluye en el sentido de las agujas del reloj a través de la resistencia. Según la ley de voltaje de Kirchhoff $+V_{C}(t)-i(t)R=0$ . Pero $i(t)=dQ/dt$ , y $dQ/dt$ es negativa (la corriente es decreciente), lo que hace que el segundo término de la ecuación diferencial sea positivo. Así que tu profe tiene razón.

Espero que esto ayude.

Lo habría pensado, pero resolver la ecuación diferencial que establecí daría como resultado una ecuación de descarga incorrecta, donde el exponente es positivo en lugar de negativo. ¿Cómo conceptualizaría la caída de voltaje negativo a través del capacitor?
En realidad, mi ecuación tal como está escrita es correcta, pero no estaba mirando la ecuación diferencial que era correcta. Voy a actualizar.
¿Debería ser la segunda oración "Entonces el capacitor se descarga ..."? Además, no creo que el razonamiento en su cuarta oración sea sólido. Si $i(t)$ es la corriente en el sentido de las manecillas del reloj, y si $Q$ es la carga en la placa superior (de acuerdo con su ecuación KVL), entonces $i(t) = -dQ/dt$

alfredo centauro · Answer 3

Al esquema le falta algo muy importante: la polaridad de referencia para los voltajes de los elementos del circuito .

Si hace esto, no habrá duda de qué ecuación es la correcta.

Por ejemplo, denote el voltaje a través del capacitor como $v_C$ y coloque un símbolo "+" en la terminal más alta del capacitor. Esto nos dice es que $v_C$ es positivo cuando el potencial en la terminal superior es más positivo.

Dicho de otra manera, el símbolo "+" indica que si el cable "rojo" del voltímetro está conectado allí (y el cable "negro" está conectado al otro terminal), el voltímetro leerá $v_C$ . Tenga en cuenta que si invierte la conexión, el voltímetro indica $-v_C$ .

De manera similar, denote el voltaje a través de la resistencia como $v_R$ y coloque un símbolo "+" en el terminal superior de la resistencia.

(Antes de seguir leyendo, asegúrese de haber marcado su esquema para que pueda consultarlo mientras lee el resto).

Ahora, con estas polaridades de referencia, KVL en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del circuito de condensador-resistencia (comenzando en la parte superior) produce

v_{C} - v_{R} = 0

$v_C - v_R = 0$

Pero

v_{C} = \frac{q}{C}

$v_C = \frac{Q}{C}$

dónde $Q$ es la carga en la placa superior (esto coincide con el signo "+" en la terminal superior) y

v_{R} = i_{R} R

$v_R = i_RR$

dónde $i_R$ es la corriente en el terminal superior (esto coincide con el signo "+" en el terminal superior por la convención de signos pasivos ).

Recordar que

i_{C} = \frac{d q}{d t}

$i_C = \frac{dQ}{dt}$

y (¡importante!) esta es la corriente en el terminal más alto del capacitor (nuevamente, por la convención de signos pasivos). Así, por KCL,

i_{R} = - i_{C} = - \frac{d q}{d t}

$i_R = - i_C = -\frac{dQ}{dt}$

y se sigue que la ecuación correcta es

\frac{q}{C} + R \frac{d q}{d t} = 0

$\frac{Q}{C} + R\frac{dQ}{dt} = 0$

con solucion

q (t) = C mi {mi}^{- t / R C}, t \geq 0

$Q(t) = C\mathcal{E}e^{-t/RC},\qquad t\ge 0$

Tomas Fritsch · Answer 4

Creo que tu profesor tiene razón. La solución de su ecuación diferencial sería una exponencial amortiguada

q (t) = q (0) {mi}^{- t / R C}

$Q(t)=Q(0)e^{-t/RC}$ que tiene sentido como un condensador de descarga.

Pero la solución de tu ecuación diferencial sería una exponencial creciente

q (t) = q (0) {mi}^{+ t / R C}

$Q(t)=Q(0)e^{+t/RC}$ lo que significa que la carga del condensador crecería infinitamente. Esto no puede ser correcto.

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Ángel Di Bella

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