Ecuaciones de Euler-Lagrange usando E⃗ E→\vec{E} y B⃗ B→\vec{B} en lugar de AμAμA^\mu [duplicado]

Podrías hacer lo mismo para, digamos, el Lagrangiano de Klein-Gordon: define $F_\mu=\partial_\mu\phi$, de modo que $L=\frac12F^2$. Las ecuaciones de Euler-Lagrange con respecto a $F$producir $F=0$, que no es equivalente a $\partial^2\phi=0$. En conclusión, no puede redefinir libremente sus variables de espacio de configuración cuando usa las ecuaciones de Euler-Lagrange. Para el campo EM, con Lagrangiano $L=\frac14F^2$, las variables son $A^\mu$, no $E,B$. Esto es particularmente claro si escribes la acción explícitamente: es un funcional de $A$, no de $E,B$. Minimizar con respecto a este último no tiene sentido.

¿Significa esto que $A$es más fundamental que $E$y $B$?

También se debe tener en cuenta que esta forma del tensor de intensidad de campo se basa en el uso de las ecuaciones de Maxwell, lo que significa que el Lagrangiano escrito solo se aplica a configuraciones de campo estacionarias y no se puede usar para cálculos variacionales.

Así es como funciona ahora Euler-Lagrange. Por ejemplo, considere el buen viejo $L = m \dot{x}^2 / 2 - V(x)$. Si definiste $y = \dot{x}$y considerado $x$y $y$como variables independientes, obtendrías ecuaciones triviales. Está mal, porque no son independientes.

¿No es esa la porción de campo libre? es decir, sin cargos, esas son las dinámicas correctas. Quizás estoy siendo denso aquí ... Pero no estoy de acuerdo con @AccidentalFourierTransform en que las ecuaciones EL deben escribirse en términos de algunas variables particulares. La característica más importante de la descripción lagrangiana, al menos clásicamente, es que puedes cambiar libremente las variables y aún así obtener dinámicas invariantes.

@BobakHashemi No, sin cargos, debe obtener las ecuaciones de Maxwell. El campo es libre, pero eso no significa que el campo sea cero. Y no todas las opciones de variables son válidas, mira mi ejemplo.

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/53018/2451 , physics.stackexchange.com/q/397633/2451 y enlaces allí.

De mi respuesta allí: Derivando la densidad de Lagrange para el campo electromagnético , tome las expresiones de $\;\left\Vert\mathbf{E}\right\Vert^{2},\left\Vert\mathbf{B}\right\Vert^{2}\;$como funciones de $\;\phi,\;\mathbf{A}\;$[ecuaciones (046a)-(046b) respectivamente], reemplácelas en su densidad lagrangiana y luego use las ecuaciones de Euler-Langrange para terminar con las ecuaciones de Maxwell sin cargas ni corrientes ( $\;\rho=0,\;\mathbf{j}=\boldsymbol{0}\;$).