Dos esferas: una hipersuperficie similar al espacio

La métrica de Schwarzschild en coordenadas radiales$(t, r, \theta, \phi)$es dado por
$ds^2 = -(1 - 2M/r) dt^2 + (1 - 2M/r)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 +r^2 \sin^2 \theta d\phi^2$
dónde$M$es la masa del agujero negro.
Una hipersuperficie está definida por una función constante$f$, en caso de 2 esferas$r = constant$. Un vector normal a una hipersuperficie se describe mediante$\xi^\mu = g^{\mu \nu} \nabla_\nu f$, dónde$\nabla_\mu$es la derivada covariante (que se reduce a la derivada parcial cuando se aplica a un escalar) y$g^{\mu \nu}$es el tensor métrico inverso. En cuanto a una 2-esfera, tenemos
$\xi_\mu = (0, 1, 0, 0)$doble vector
$\xi^\mu = (0, (1 - 2M/r), 0, 0)$vector
La norma al cuadrado es$\xi^\mu \xi_\mu = (1 - 2M/r)$, que es positivo (como un espacio) cuando$r > 2M$, que está fuera del horizonte de sucesos, cero (nulo) cuando$r = 2M$, que está en el horizonte de sucesos y negativo (similar al tiempo) cuando$r < 2M$, que está dentro del horizonte de sucesos.
Como una hipersuperficie es similar al tiempo si la normal es similar al espacio, nula si la normal es nula y similar al espacio si la normal es similar al tiempo, tenemos
A 2-esfera es similar al tiempo cuando$r > 2M$, fuera del horizonte de eventos
A 2-esfera es nula cuando$r = 2M$, en el horizonte de eventos
A 2-esfera es similar al espacio cuando$r < 2M$, dentro del horizonte de sucesos

Los vectores tangentes a las 2 esferas son
$\zeta^t = (1, 0, 0, 0)$
$\zeta^\theta = (0, 0, 1, 0)$
$\zeta^\phi = (0, 0, 0, 1)$

Las superficies atrapadas no son necesariamente 2 esferas, eso depende de la métrica. Por ejemplo, las superficies atrapadas en la métrica de Kerr (agujero negro giratorio) no exhiben una simetría radial.