Distancia Tierra-Sol en un día determinado del año

$$1- 0.01672*\cos(0.9856*(\text{day}-4))$$

Esta es una expresión aproximada. Término por término,

• $1$
  La distancia media entre la Tierra y el Sol es de aproximadamente una unidad astronómica.

• $0.01672$
  Esta es la excentricidad de la Tierra alrededor del Sol.

• $\cos$
  Esta es, por supuesto, la función coseno, pero con un argumento en grados en lugar de radianes.

• $0.9856$
  Esto es$360/365.256363$, dónde$360$es el número de grados en una rotación completa y$365.256363$es la duración de un año sideral, en días solares medios.

• día
  Este es el número de día del año. Dado que esta es una expresión aproximada, si uno comienza con el primero de enero siendo cero o uno es irrelevante.

• 4
  Actualmente, la Tierra alcanza el perihelio entre el cuatro y el seis de enero, según el año.

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Entonces, ¿de dónde viene esta aproximación? Si la órbita de la Tierra fuera una órbita kepleriana alrededor del Sol (que no lo es), la distancia entre la Tierra y el Sol estaría dada por la versión moderna de la primera ley de Kepler,

$$r = a\frac{1-e^2}{1+e\cos\theta}$$ dónde $r$es la distancia entre la Tierra y el Sol, $a$es la longitud del semieje mayor de la órbita terrestre, $e$es la excentricidad de la órbita, $\theta$es el ángulo subtendido en el Sol entre la línea del semieje mayor y la posición actual. (En otras palabras, la verdadera anomalía).

Pasamos de usar el Sol para medir el tiempo a relojes hace unos cientos de años. De hecho, Kepler fue uno de los primeros en decir que los relojes, en lugar del Sol, son la medida adecuada del tiempo. Esto significa que usar días en lugar de theta no es del todo correcto. Nuestros días son una medida de anomalía media más que de anomalía verdadera. Para nuestra órbita de baja excentricidad, la diferencia entre los dos es de menos de 20 minutos. (Esta diferencia es parte de la ecuación del tiempo). Usar el número de día como sustituto de la anomalía verdadera es una aproximación razonable de la anomalía verdadera, siempre que dividamos por la cantidad de días en un año sidéreo. Si la función coseno toma grados como argumento, necesitamos multiplicar por 360. Por lo tanto, el 0.9856 ($360/365.256363$).

La siguiente aproximación utilizada es que$\frac1{1+x} \approx 1-x$para valores pequeños de x. Esto nos lleva a

$$r=a(1-e^2)(1-e\cos\left(0.9856\,\text{day#}\right))$$ A continuación, necesitamos el número del día, con el día cero marcando el momento del paso del perihelio. Eso es bastante simple. Actualmente, la Tierra alcanza el perihelio alrededor del cuatro de enero más o menos. Finalmente, necesitamos un valor para $a(1-e^2)$. Eso es aproximadamente uno cuando la distancia se expresa en unidades astronómicas. el resultado final es $$r=1-0.01672\,\cos\left(0.9856\,(\text{day-4})\right)$$

Se hacen aproximaciones:

1. La velocidad orbital de la Tierra sigue siendo la misma: ángulo entre la Tierra y el perihelio de la Tierra$\theta$está aumentando constantemente.
2. La excentricidad es lo suficientemente pequeña, esa elipse se puede aproximar a ser$r=a(1-e \cos\theta)$.

La Tierra está en su perihelio el 4 de enero y su excentricidad es 0,0167, por lo que se puede derivar la fórmula dada, como ya respondió Hammen.

Pero si desea calcular con mayor precisión la distancia entre la Tierra y el Sol en cualquier época determinada, debe buscar la Ecuación de Kepler . Esto se puede obtener usando las leyes del movimiento planetario de Kepler, o simplemente resolviendo el problema de 2 cuerpos : que aún sería una aproximación, pero mucho más precisa que la que se da en su pregunta.