¿Alineación planetaria de los gigantes gaseosos?

¿Cuánto tiempo pasa antes de que tres planetas alcancen la misma posición relativa?

La respuesta es nunca, excepto en el caso en que sus periodos orbitales se puedan expresar con números enteros bajos, como la resonancia 4:2:1 de Io, Europa y Ganímedes.

Sin embargo, lo que está preguntando es cuándo volverán a estar casi en la misma posición, un período quazi.

Para encontrar esos períodos, prácticamente solo nos queda la fuerza bruta como nuestro método. Un pequeño detalle agradable sobre el caso con tres planetas es que el planeta interior siempre está alineado con uno de los otros en las alineaciones de tres planetas más cercanas. Eso nos permite calcular soluciones precisas. En los casos de cuatro o incluso cinco planetas simplemente me doy por vencido.

Para comprobar todas las posibilidades, podemos utilizar un programa. Aquí hay un ejemplo de una función en JavaScript que devuelve una lista de quazi-periods y errores de alineación:

sameLine = function (period1,period2,period3,limit){
    results = [];
    newMargin = 1;
    synodic1 = 1/(1/period1 - 1/period2);
    anomaly1 = (synodic1/period1) % 1;
    synodic2 = 1/(1/period1 - 1/period3);
    anomaly2 = (synodic2/period1) % 1;
    alert(synodic1+","+synodic2);
    for (i = synodic2; i < limit; i+=synodic2){
        numb1 = i/synodic1 - (i/synodic1) % 1;
        numb2 = i/synodic2 - (i/synodic2) % 1;
        err1 = Math.abs((numb1 * anomaly1 - numb1 * synodic1/period3) % 1);
        err2 = Math.abs((numb2 * anomaly2 - numb2 * synodic2/period2) % 1);
        if (err1 > 1 - err1){
            err1 = 1 - err1;
        };
        if (err2 > 1 - err2){
            err2 = 1 - err2;
        };
        if ((err1 < newMargin) && (numb1 > 0)){
            results.push([numb1 * synodic1,err1]);
            newMargin = err1;
        };
        if ((err2 < newMargin) && (numb2 > 0)){
            results.push([numb2 * synodic2,err2]);
            newMargin = err2;
        };
    };
    return results;
};

Para Júpiter, Saturno y Urano, obtengo el siguiente resultado:

Tiempo, error

13.81170069444156,,,0.30449020900657225
39.71676854387252,,,0.12441143762575813
41.43510208332468,,,0.08652937298028318
139.00868990355383,,,0.06455996830984656
138.1170069444156,,,0.04490209006572288
179.55210902774027,,,0.041627282914560304
317.6691159721559,,,0.0032748071511630172
3991.581500693611,,,0.002329597100612091
4309.250616665767,,,0.0009452100505313865

El primero de estos períodos no sirve de nada, ya que el error de alineación es de casi un tercio de una órbita. Tenga en cuenta que el que encontró (que es realmente impresionante lo que hizo, en realidad) da un error en la alineación de menos de un porcentaje. Tenemos que mirar períodos de más de mil años para encontrar una mejor alineación.

Asegúrese de alimentar esta función con períodos orbitales precisos.

Esta no es una respuesta, pero es demasiado larga para un comentario.

Le envié un correo electrónico al propietario del sitio, Jeroen Gommers, y resulta que los planetas no se mueven la misma cantidad de grados por unidad de tiempo (más notable para Eris). Aquí está su respuesta a mi pregunta sobre fórmulas para las órbitas:

El interactivo en realidad no usa ninguna fórmula para calcular posiciones constantemente. Para que los planetas se muevan sin problemas, cada planeta se anima en función de su órbita que sigue a sus elementos orbitales.

[...]

Eris, como los demás, no gira alrededor del sol con una velocidad constante y su órbita también es bastante elíptica. Es por eso que lo ves acelerar y disminuir la velocidad.

En una nota no relacionada, estaba trabajando en la respuesta a esto suponiendo un movimiento angular fijo:

https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m

si alguien está interesado en contribuir o ver.