Las características de forma de los pozos gravitacionales dadas diferentes masas y dispersión de objetos.

La pregunta es un poco abierta, por lo que es más una introducción al tema que una respuesta total, ya que una respuesta completa involucra tanto la teoría potencial como la relatividad general .

Si comenzamos con pozos gravitatorios en mecánica clásica, tienen una forma simple para masas puntuales:

$$U(r)=-\frac{GM}{r}$$ dónde$r$es la distancia desde el punto. Están definidos en todas partes excepto en el punto en$r=0$, y estirarse hasta el infinito (donde el potencial es cero).

Si tiene varias masas puntuales, sus potenciales simplemente se suman:

$$U(x)=-G\sum_i \frac{M_i}{d_i}$$ dónde$M_i$es la masa del$i$partícula y$d_i$la distancia al punto$x$donde se mide el potencial.

Se pueden analizar distribuciones de masa continuas de la misma manera, integrando contribuciones de partículas infinitesimalmente pequeñas:

$$U(x) = -G\int_{t\neq x} \frac{\rho(t)}{|x-t|} dt$$ dónde$\rho(t)$es la densidad de masa en el punto$t$. La integral cubre todo el espacio excepto$x=t$. De esta forma puedes (con algo de esfuerzo) calcular el campo gravitatorio alrededor de cuerpos esféricos, anillos, planos, etc.

Uno de los resultados clave es el teorema de la capa de Newton: si tiene una distribución de masa esféricamente simétrica , el potencial solo depende de la distancia al centro (también es esféricamente simétrica). Además, no hay fuerza gravitacional de las capas de masa fuera del punto desde el que está midiendo: aún contribuyen potencial, sin embargo, en el centro de la Tierra no tendría peso pero tendría un potencial bastante bajo. No importa cuán denso sea el cuerpo, si estás fuera de él solo sentirás un potencial dependiente de la masa total.

Esto también explica tu pregunta secundaria sobre el Sol como gigante roja. La razón por la que se espera que la Tierra gire un poco en espiral es que el Sol comenzará a perder masa a través del fuerte viento solar, no que la densidad disminuya.

Además, se pueden encontrar otras formas de calcular los potenciales. La ley de Gauss es muy útil. Establece que la fuerza gravitacional, cuando se integra alrededor de una superficie cerrada arbitraria, es proporcional a la masa en el interior:$\int\int_S g\cdot dA = -4\pi G M$. Note cómo implica el teorema de la cáscara. Uno puede diferenciar esto, y luego llegar a la ecuación de Poisson

$$\nabla^2 U = 4\pi G\rho.$$ Potenciales en el espacio vacío donde$\rho=0$sigue la ecuación de Laplace $$\nabla^2 U =0$$ -- son el tema de la teoría del potencial ya veces se les llama funciones armónicas.

Para describir sus formas se puede hacer uso del hecho de que si$U_1$y$U_2$son dos potenciales que resuelven la ecuación de Laplace, entonces$U_1+U_2$tambien lo soluciona. Entonces, uno puede sumar soluciones potenciales simples (como en el caso de las partículas puntuales) para construir otras más complejas. Existe una vasta teoría matemática sobre cómo hacer esto. Para la gravedad normalmente lo importante son las expansiones en momentos multipolares expresados ​​en armónicos esféricos . Dado que la mayoría de las distribuciones de masa son gotas aproximadamente esféricas, estas combinaciones suelen producir resultados precisos con pocos términos. En particular, pueden manejar fácilmente la distorsión de un cuerpo achatado (el potencial está un poco aplastado cerca del cuerpo), o cosas más complejas, como los bultos de la Tierra . Una vez que tenga el potencial, puede, por ejemplo, calcular cómo afecta las órbitas de los satélites.

Uno de los resultados importantes es que los armónicos de orden superior decaen más rápido con$r$que$1/r$. Tienen menos efecto en las partes distantes del potencial. Un planeta cúbico tendrá un campo parecido a un cubo cerca de la superficie, pero más lejos será casi como si fuera una esfera (ver este artículo , aunque no usan el método armónico).

Más allá de esto está la relatividad general. No hay exactamente un potencial gravitacional en GR (el tensor métrico está haciendo parte del trabajo) aunque para campos débiles uno puede aproximarse al clásico y calcular la dilatación del tiempo gravitatorio . También hay una contraparte del teorema de la cáscara .