Distancia en relatividad general

El tiempo propio de una curva temporal es su longitud.

Leí algunas líneas sobre la relatividad general y [... una ecuación para] el tiempo propio de una curva similar al tiempo.

Supongo que esto se refiere a una ecuación similar a

dónde

• $A$denota un participante en particular ("punto material", "individuo principal identificable"),

• la cantidad que se expresa,$\tau A_J^Q$, se puede llamar la longitud del arco de la curva temporal que consta de eventos en los que$A$participó del evento de$A$y (un adecuado, único) participante$J$habiéndose conocido (e inmediatamente después dejado) uno al otro, al caso de$A$y (un adecuado, único) participante$Q$habernos conocido (inmediatamente después de habernos acercado);
  o de manera más concisa (y posiblemente más dirigida a la física)$\tau A_J^Q$puede ser llamado$A$'s duración de haber indicado$J$el paso hasta haber indicado$Q$el paso,

• $g$se llama el tensor métrico (de la región del espacio-tiempo$\mathcal S$bajo consideración, en función de dos argumentos temporales adecuados de acuerdo con la convención de signos ilustrada aquí ),

• $\gamma : [0 ... 1] \rightarrow \mathcal S$representa la curva temporal (a lo largo) bajo consideración, con

• $\gamma[~0~] = \varepsilon_{AJ}, \qquad \gamma[~1~] = \varepsilon_{AQ},$
  y la imagen de la curva$\gamma$no tiene espacios y contiene solo eventos en los que$A$participó,

• $\dot\gamma[~t~]$se llama el vector tangente de la curva$\gamma$, que se caracteriza por

• su dirección (es decir, la clase de equivalencia de todas las curvas que solo tocan la imagen de la curva$\gamma$en el evento$\gamma[~t~]$), y

• con una magnitud tal que se satisface la ecuación definitiva que se muestra a continuación.

Pero los observadores también deberían poder medir la longitud, ¿verdad?

Bueno, seguramente debería ser posible atribuir la longitud del arco también a las curvas que son (en su totalidad) similares al espacio. Al menos formalmente, eso también es sencillo (usando la misma convención de signos que la anterior):

donde aqui la curva$\gamma$se entiende y se requiere que sea similar al espacio;
y, como antes, las magnitudes de los vectores tangentes aplicables se dan solo a través de una ecuación definitiva correspondiente que se muestra a continuación.

la primera ecuación es la que define [...]

Las dos ecuaciones que se muestran arriba ciertamente no brindan definiciones independientes, ya que dependen de asignaciones adecuadas para las magnitudes de los vectores tangentes; tal vez relacionado con asignaciones de coordenadas particulares ("buenas", "afines", "localmente ortonormales").

Definitivas son más bien expresiones de longitudes de arco (de curvas de tipo espacial o de curvas de tipo temporal, respectivamente) en términos de valores dados.

• distancias $d : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$, o

• distancias lorentzianas $\ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$,

como

y

Exactamente como un reloj ideal en reposo con el observador (aquí representado como una curva temporal) mide el tiempo propio del observador, las reglas ideales en reposo con el observador miden las distancias en el espacio de reposo del observador. Matemáticamente, estas reglas se representan como una base ortonormal hecha de$3$vectores normales al vector unitario tangente a la curva temporal que describe al observador.

Como son ortogonales a ese vector temporal, son espaciales y el producto escalar lorentziano está restringido al$3$-el espacio recorrido por ellos es positivo, es decir, euclidiano. Además, la ortogonalidad implica que la velocidad de los rayos de luz es$1$(Estoy trabajando con la convención$c=1$) si el observador utiliza estas reglas y el reloj ideal en reposo con él/ella para medir esa velocidad.

Una pregunta interesante se refiere a cómo se transportan estas reglas a lo largo de la curva. Una elección natural es el transporte paralelo. Sin embargo, el transporte de Fermi-Walker también es otra forma posible (ambos conservan la ortogonalidad y las propiedades métricas y coinciden si la curva es una geodésica).

Todo lo que escribí se refiere al espacio de descanso "infinitesimal" con el observador (representado en el espacio tangente de un evento atravesado por la curva). Si desea tener una noción finita o global, debe reunir varios observadores: una suave congruencia de curvas temporales. A$3$-la tangente múltiple a todos los espacios de reposo "infinitesimales" de los observadores es una global$3$-espacio en un momento dado. Una euclidiana suave$3$La métrica resulta estar definida automáticamente a partir de los productos escalares positivos en cada espacio de reposo infinitesimal de los observadores.

A veces no hay tal$3$-Existen variedades para una congruencia dada de observadores, como ocurre, en particular, para la plataforma global rotatoria. En ese caso, es necesaria (y posible) una noción más sofisticada de espacio de descanso.

En GR las nociones de espacio y tiempo ya no son diferentes, se combinan en espacio-tiempo. Los puntos en el espacio-tiempo están etiquetados por coordenadas, que pueden elegirse arbitrariamente y, en el caso especial del espacio de Minkowski, pueden ser las familiares x, y, z y t. Sin embargo, la única cantidad físicamente significativa es el elemento de línea:

dónde$g_{\mu\nu}$es la métrica. El tiempo adecuado a lo largo de una curva similar al tiempo es la integral del elemento de línea, como has leído. Sin embargo, debo enfatizar que esto no es lo mismo que el tiempo de coordenadas, aunque convergen en el límite newtoniano.

Medir distancias en GR es más sutil y, lo que es más importante, no existe una noción única de distancia. Podría referirse al elemento de línea en t = constante e integrarlo a lo largo de una curva similar al espacio. Podría inventar algún tipo de medida de distancia que involucre la luz, los cosmólogos, por ejemplo, comúnmente usan la distancia de luminosidad y la distancia angular, que tiene que ver con qué tan brillantes y grandes aparecen los objetos luminosos en el cielo.

En conclusión, no existe una ecuación única para la "distancia".