Disco estable para simulación de cuerpo NNN

Quiero simular una Galaxia de$N$partículas que tengo que generar primero. Lo que he hecho hasta ahora no conduce al resultado que quiero ver. Probablemente cometí un error y no lo veo. Aquí viene lo que hice:

1) Generar partículas uniformemente distribuidas dentro de un círculo unitario con masa$m_i = 1/N$:

Por cada punto que hago:

   R = 1;
   radius = R*sqrt(rand(0,1));
   phi = rand(0,2*pi);
   m = 1/N;
   x = radius*cos(phi);
   y = radius*sin(phi);

Haciendo eso obtengo la siguiente distribución:

2) Generar velocidades tales que el círculo no explote o implosione:

Quiero generar algo donde$F_{\text{Gravity}} = F_{\text{Centrifugal}}$

Desde$F_{\text{Centrifugal}} = \frac{mv^2}{r}$y$F_{\text{Gravity}} = G\frac{M(r) m}{r^2}$Puedo igualar ambas ecuaciones y obtener la velocidad$v$

$M(r)$es la masa dentro del radio$r$. puedo escribir$M_{\text{tot}} = \pi R^2$y$M=\pi r^2$(densidad$\rho=1$). De esas ecuaciones obtengo$M(r) = \frac{r^2}{R^2} M_{\text{tot}}$. Ahora puedo volver a ponerlo en$v$y obten:

$v = \sqrt{\frac{Gr^2M_{\text{tot}}}{rR^2}}$

Desde$M_{\text{tot}} = G = R = 1$Yo obtengo:

$v = \sqrt{r}$

Entonces, para cada punto que hago:

   velocity = sqrt(radius);
   v_x = -velocity*sin(phi);
   v_y = velocity*cos(phi);

Entonces obtengo el siguiente resultado:

Ok, parece que el círculo explota de alguna manera. Las partículas del centro se mueven hacia el exterior. ¿Es mi cálculo para$v$mal, o simplemente no funciona para mi propósito? ¿Necesito otra distribución de velocidad? Al final, para grandes$t$, No puedo ver que se formen brazos espirales ni ninguna otra estructura. Lo intenté$N=4000$y$N=50000$. ¿Necesito más partículas? Hice algo mal?