¿Cuáles son buenas soluciones de la ecuación de Helmholtz similares a un haz gaussiano no paraxial?

La forma más limpia de hacer esto es usar lo que se conoce como campos de enfoque complejo, que se construyen usando un pequeño conjunto de ideas clave simples (aunque no obvias):

• El ingrediente básico es la solución multipolar de la ecuación de Helmholtz,

  $$\Lambda_{l,m}(\mathbf r) = 4\pi i^l \: j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi),$$ dónde$j_l(kr)$es una función de Bessel esférica y$Y_{lm}(\theta,\phi)$es un armónico esférico, y que satisface$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  En términos de las coordenadas cartesianas de$\mathbf r=(x,y,z)$, esto parece algo intimidante, ya que$\theta$y$\phi$son funciones discontinuas y$j_l(kr)$tiene raíz cuadrada, pero también sabemos que$j_l(kr)\sim r^l$veces una serie convergente en$r^2$, y si este factor se incorpora al armónico esférico obtenemos el armónico esférico sólido $S_{lm}(\mathbf r) = r^l \: Y_{lm}(\theta,\phi)$, que es un polinomio homogéneo de grado$l$en$x,y,z$.

  ... todo lo cual es una forma larga de decir que$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$no es sólo una función continua de$x,y,z$, pero en realidad es una función completa.

• El segundo ingrediente clave es utilizar el hecho de que$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$está entero, y desplazando el$z$coordenada por un desplazamiento imaginario, para$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$, que no afecta a la ecuación de Helmholtz$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  Como$\zeta$aumenta, las soluciones se alejan del carácter de onda esférica y su espectro angular se vuelve cada vez más concentrado en ondas que se propagan hacia adelante. en el grande$k\zeta$límite, las soluciones primero se convierten en haces no paraxiales fuertemente enfocados, y luego se desenfocan para acercarse a los haces que se propagan en el límite paraxial. Más precisamente,

  • la solución monopolar$\Lambda_{0,0}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$se aproxima a un haz gaussiano, y
  • los casos 'extremos'$\Lambda_{l,\pm l}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$con momento angular distinto de cero se aproximan a los haces de Laguerre-Gauss (base) sin nodos radiales.
  • (Los casos intermedios,$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$con$|m|<l$, se convierten en mezclas complejas de ondas estacionarias de ondas en varias direcciones).

• Finalmente, para producir soluciones vectoriales adecuadas (a diferencia de las soluciones escalares)$\Lambda_{l,m}$) que satisfacen la condición de transversalidad$\nabla\cdot\mathbf E=0$Además de la ecuación de Helmholtz, se pueden utilizar operadores diferenciales adecuados (con buenos ejemplos como$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = \tfrac{1}{ik} \nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))$y$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = -\tfrac{1}{k^2} \nabla \times \left(\nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))\right)$) que implican derivadas simples y, como tales, no afectan a la ecuación de Helmholtz.

Una buena referencia que profundiza en estos campos es

• Bases no paraxiales escalares y electromagnéticas compuestas como superposiciones de campos de vórtices simples con focos complejos. R. Gutiérrez-Cuevas y MA Alonso. Optar. Expreso 25 , 14856 (2017) .

y mi propio uso está en

• Campos skyrmiónicos de polarización óptica en el espacio libre. R. Gutiérrez-Cuevas y E. Pisanty. J. Opt. 23 , 024004 (2021) , arXiv:2101.09254 .

Mi implementación en Mathematica está disponible como ComplexFocuspaquete en GitHub, en github.com/ComplexFocus/ComplexFocus .

Creo que la Sección II de mi antiguo trabajo,

Calentamiento eficiente de objetivos cilíndricos delgados mediante haces electromagnéticos anchos I. Andrey Akhmeteli. arXiv:física/0405091 (2004).

contiene exactamente lo que necesita: una solución exacta relativamente simple de las ecuaciones libres de Maxwell que se aproxima asintóticamente mediante un haz gaussiano en el límite$\delta/\lambda\rightarrow\infty$, dónde$\delta$es el tamaño de la cintura de la viga gaussiana y$\lambda$es la longitud de onda.

La solución se expresa en términos de potenciales de Hertz (véanse las fórmulas 1-6, 21-22). La solución está escrita para un haz gaussiano polarizado circularmente, pero no es difícil modificar la solución para obtener un haz polarizado linealmente.

Esta solución tiene la forma de una única integral 1D, que debe integrarse numéricamente (ya que parece que Mathematica no puede integrarla simbólicamente). El artículo presenta los potenciales de Hertz como una integral; si quiere los campos directamente, debe tomar las derivadas en el doble rizo simbólicamente antes de la integración numérica, y debe tener cuidado de usar fórmulas para las derivadas de las funciones de Bessel que no causen pérdida de precisión (para que no calcule una diferencia de dos funciones que no difieren mucho en la vecindad de cero).

La integral numérica es oscilatoria, pero depende de usted decidir si es "altamente oscilatoria". Puede calcularlo usando la transformada rápida de Fourier o la transformada rápida de Hankel (transformada de Fourier-Bessel), dependiendo de si necesita valores a lo largo de una línea paralela al eje del haz o a lo largo de un radio.

Está buscando una solución exacta localizada de la ecuación de Klein-Gordon:

$$(-\partial_t^2 + \partial_x^2 + \partial_y^2+ \partial_z^2) \phi(t,x,y,z)=0$$

Como se presentó en un artículo reciente , se pueden utilizar las coordenadas del cono de luz de Dirac

$$x^\pm=\frac{1}{\sqrt{2}}(z \pm ct)$$ donde la forma exacta de la ecuación de onda viene dada por $$(-2 c^2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\phi(x^-,x^+,x,y)=0$$ dónde $$\partial_\pm=\frac{\partial}{\partial x^\pm},\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}, \partial_y = \frac{\partial}{\partial y}.$$ Ahora considere la transformación de Fourier a lo largo de la dirección x^-: $$\phi=\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)$$ .

Luego en la unidad de$c=1$, la ecuación de onda se simplifica a:

$$(-2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$

$$\updownarrow$$ $$\int d\omega e^{i \omega x^-}(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ $$\updownarrow$$ $$(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ que es la ecuación de Helmholtz. A diferencia de la aproximación paraxial ordinaria, no se utiliza ninguna aproximación en las coordenadas del cono de luz de Dirac.

Entonces, tome cualquier solución conocida de la aproximación Paraxial, por ejemplo, los modos de Hermite Guasian, cambie t a x ^ +, obtendrá un modo exacto.