¿Cómo se reconstruye la imagen virtual a partir de un holograma?

Por difracción . Cuando se expone la placa fotográfica, se ennegrece y cambia su índice de refracción de una manera que varía espacialmente. Cuando se ilumina nuevamente por el haz de referencia, se puede considerar como una transmitancia de amplitud. En 2D lo definirías como la función compleja:

$$t(x,y)= T(x,y)e^{i\theta(x,y)}$$

Digamos que su haz de referencia se puede aproximar como una onda armónica plana, tendrá la forma:

$$E(x,y)=E_0 e^{ik*r}$$

Cuando haces brillar el haz de referencia a través del holograma, lo modulas con la transmitancia. Entonces, el campo directamente después del holograma es:

$$E(x,y)=T(x,y)E_i(x,y)$$

Para obtener formalmente el campo de ondas en cualquier punto más allá de eso, debe resolver la integral de Fresenel-Kirchhoff .

La difracción da como resultado frentes de onda divergentes y convergentes en ambos lados de la placa. El convergente crea una imagen virtual del objeto que parece estar donde estaba el objeto original. La siguiente ilustración intenta mostrar este proceso:

Me gustaría agregar otra versión de la respuesta de Cape Code .

La holografía funciona porque, dadas suposiciones físicas razonables, las soluciones de la ecuación de onda de Helmholtz se definen únicamente por los valores de las soluciones en un plano. Entonces, si podemos iluminar una máscara de fase/amplitud que codifica una solución de ecuación de onda particular en un plano con una onda plana de un láser, la luz que pasa a través de la máscara tendrá la misma fase y amplitud de la solución original de la ecuación de onda. Por lo tanto, al propagarse lejos de la máscara, el campo de luz tendrá el mismo comportamiento que la solución original.

Para ver esto en acción, supongamos que un campo de luz es casi monocromático y se propaga nominalmente en el$+z$dirección. Recuerde que las soluciones de onda plana a la ecuación de Helmholtz$(\nabla^2+k^2)\psi=0$son de la forma$\psi_{\vec{k}}(\vec{r}) = \exp(i\,\vec{k}\cdot\vec{r})$, dónde$\vec{k}=(k_x,\,k_y,\,k_z)$¿Está cumpliendo el vector de onda?$c^2\,\vec{k}\cdot\vec{k}=\omega^2$. Si el campo comprende solo ondas planas en sentido positivo$z$dirección ( es decir $k_z>0$) entonces podemos representar la difracción de cualquier campo escalar en cualquier transversal (de la forma$z=c$) avión por:

$$\begin{array}{lcl}\psi(x,y,z) &=& \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \left[\exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)\,\Psi(k_x,k_y)\right]{\rm d} k_x {\rm d} k_y\\ \Psi(k_x,k_y)&=&\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2} \exp\left(-i \left(k_x u + k_y v\right)\right)\,\psi(x,y,0)\,{\rm d} u\, {\rm d} v\end{array}$$

Para entender esto, pongamos cuidadosamente en palabras los pasos algorítmicos codificados en estas dos ecuaciones:

1. Tome la transformada de Fourier del campo escalar sobre el plano transversal$z=0$para expresarlo como una superposición de ondas planas escalares$\psi_{k_x,k_y}(x,y,0) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right)$con superposición de pesos$\Psi(k_x,k_y)$;
2. Tenga en cuenta que las ondas planas que se propagan en el$+z$dirección que cumple la ecuación de Helmholtz varían como$\psi_{k_x,k_y}(x,y,z) = \exp\left(i \left(k_x x + k_y y\right)\right) \exp\left(i \left(k-\sqrt{k^2 - k_x^2-k_y^2}\right) z\right)$;
3. Propaga cada una de esas ondas planas desde el$z=0$avión al general$z$plano usando la solución de onda plana anotada en el paso 2;
4. Transformada inversa de Fourier de las ondas propagadas para volver a montar el campo en el general$z$avión.

Si puede comprender estos pasos, debería ver cómo la solución a la ecuación de Helmholtz, es decir, el campo de luz escalar tridimensional completo, se reconstruye a partir de sus valores en el plano.$z=0$. Esto último, por supuesto, es lo que codifica un holograma de máscara de fase e intensidad.

A veces se usa una máscara de solo amplitud. Entonces, en lugar de una máscara que genera un campo del formulario$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$genera un campo de la forma$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y))$. Pero este último campo se puede escribir:

$$A(x,\,y)\,\cos(\Phi(x,\,y)) = \frac{1}{2}(A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))+A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y)))$$

cual es el campo$A(x,\,y)\,\exp(i\,\Phi(x,\,y))$que queremos superponer al campo conjugado de fase $A(x,\,y)\,\exp(-i\,\Phi(x,\,y))$. En este tipo de holografía, se dispone la iluminación de modo que el campo deseado y su fase conjugada se propaguen en un ángulo mayor entre sí, de modo que se separen rápidamente y permitan ver cada campo por separado.