Diagonalización exacta de un hamiltoniano BdG en una red finita

Primero necesitas traerlo a la siguiente forma:

$H=\Psi^\dagger h \Psi$

Aquí$\Psi$es un vector de columna grande:

$\Psi=(\dots, c_{m,n}, \dots, c_{m,n}^\dagger, \dots)^T$

Básicamente, la primera mitad de$\Psi$son todos operadores de aniquilación, y la segunda mitad son todos de creación. Si el número de sitios es$N$, la talla de$\Psi$es$2N$. Entonces$h$es un$2N\times 2N$matriz. Para traerlo a esta forma, uno tiene que hacer un poco de trabajo, reescribir todo$c_i^\dagger c_j$término como$-c_j c_i^\dagger$, etc. Pero esto no es demasiado difícil.

Si haces todo correctamente,$h$es una matriz hermitiana y ahora puedes ir y diagonalizarla. Los resultados son, por supuesto, las energías de las cuasipartículas de Bogoliubov y sus formas están dadas por la transformación unitaria que diagonaliza$h$.

Entonces: supongo que quieres diagonalizar este problema reescribiendo el hamiltoniano como$H=\sum E_id_i^\dagger d_i$, dónde$d_i$son operadores de cuasipartículas que obedecen a las relaciones de conmutación fermiónicas.

Si solo tuviéramos$c^\dagger c$términos, podríamos escribir H como

Entonces podríamos demostrar que si$\{c_i\}$obedecen las relaciones de conmutación de Fermión, entonces también lo hacen$\{U_{ij}c_j\}$, dónde$U$es cualquier matriz unitaria. Entonces simplemente diagonalizaríamos$H_{ij}$con matrices unitarias, y obtener nuestro operador cuasipartícula.

Con el$\Delta$término, ya no podemos hacer esto, porque nuestros operadores de cuasipartículas en general tendrán que combinar$c_i$y$c_i^\dagger$. Sin embargo, hay una forma inteligente de evitar esto.

Definir operadores de majorana$\gamma_{2j-1}=c_j+c_j^\dagger$,$\gamma_{2j}=\frac{c_j-c_j^\dagger}{i}$. Un simple cálculo muestra que$\{\gamma_a, \gamma_b\}=2\delta_{ab}$, y$\gamma^\dagger=\gamma$. A continuación, puede reescribir su hamiltoniano como$H=\sum H_{ij} \gamma_i\gamma_j$.

Un simple cálculo muestra que si$O$es cualquier matriz ortogonal, entonces$\{O_{ij}\gamma_j\}$también obedecen a las mismas relaciones de conmutación. Entonces, puedes diagonalizar libremente$H_{ij}$Usando matrices ortogonales, obtenga un conjunto de$\tilde{\gamma}_i$s, luego transforme estos de nuevo en operadores fermiónicos.

Como nota al margen, no desea obtener$H_{ij}$en forma diagonal usando los operadores ortogonales. Realmente quieres obtenerlo en la forma

Acabo de dar un boceto aproximado, es un poco complicado pero funcionará. Para obtener más información, consulte aquí: http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0010440v2.pdf