Curvas temporales cerradas en la métrica de Kerr

Permítanme escribir la métrica en el plano ecuatorial ($\vartheta = \pi/2$) del espacio-tiempo de Kerr en coordenadas Boyer-Lindquist:

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2M r}{r^2 + a^2}\right) d t^2 + \frac{r^2+a^2}{r^2 - 2Mr + a^2} d r^2 + \left(r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}\right) d \varphi^2 - \frac{2 M r a}{r^2 + a^2} dt d \varphi$$ Ahora tienes que confiar en mí que pasar por la singularidad del anillo en$r=0$(recuerda eso$r,\vartheta$son de hecho coordenadas elipsoidales achatadas y$r=0$es un disco) significa ir a$r$negativo. ahora me gustaria saber si hay$r$tal que el vector$\eta^\mu = \delta^\mu_\varphi$es como el tiempo. encontré eso $$\eta^\mu \eta_\mu = g_{\varphi \varphi} = r^2 + a^2 + \frac{2M r a^2 }{r^2 + a^2}$$ que es negativo en un cierto rango de negativos$r$(el rango tiene una expresión cerrada y engorrosa correspondiente a dos raíces de una ecuación cuártica). Como las curvas integrales de$\eta^\mu$están cerrados, en ese rango de$r$, hay curvas de tiempo cerradas. Cuando te sales del ecuador y graficas las regiones donde$g_{\varphi\varphi}$es negativo, encuentra que esta región es una "rosquilla" finita cerca de la singularidad del anillo en el$r<0$parte del espacio-tiempo de Kerr.

Sin embargo, el problema es que si comienza con su curva temporal en esta dona, también puede dejarla, pasar por la singularidad de regreso a$r>0$, y todo el camino hasta el horizonte interior del agujero negro de Kerr. Luego vuelves a la$g_{\varphi\varphi}<0$rosquilla, y se le permite circular en$\varphi$indefinidamente con una pequeña deriva negativa en$t$, y eventualmente termina cerrando tu curva temporal (encuéntrate con tu propio pasado). Por lo tanto, las curvas cerradas similares al tiempo están implícitas en la existencia de la "rosquilla acausal" hasta el horizonte interior del agujero negro de Kerr. Esta es también una de las razones por las que a menudo se descarta la región dentro del horizonte interior como no física.

Consulte la sección 3.19 de Agujeros negros: una introducción por Derek J. Raine, Edwin George Thomas

https://books.google.ca/books?id=O3puAMw5U3UC&pg=PA103&lpg=PA103&dq=kerr+schild+cerrado+timelike&source=bl&ots=elnzJu2ySm&sig=B4cWXIkib4fqbs0D7yA2YlZKE8A&hl=en&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=kerr%2closed0s%2%2closed0s%child 20timelike&f=false

Ese libro tiene un ejemplo: Coordenadas de Boyer Lindquist: tome una órbita donde solo cambie phi, luego el tiempo adecuado en esa órbita viene dado por (una fórmula en el libro), luego establecemos r = justo dentro de la singularidad del anillo, y uno obtiene un camino temporal dt > 0 que es periódico.