La suma ponderada de los valores de la diagonal está dominada por la suma de los valores singulares

Dejar$A$ser un$2 \times 2$matriz real con$\det A \ge 0$, y deja$\sigma_1 \le \sigma_2$sean sus valores singulares. Dejar$0 \le x_1 \le x_2$. como probar eso$x_1 A_{11} +x_2A_{22} \le x_1 \sigma_1+x_2 \sigma_2$?

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Tengo una prueba, pero usa geometría de Riemann. Estoy buscando una prueba más elemental.

Formulación equivalente:

Colocar$K=\{ A \in M_2 \, | \, \det A \ge 0 \, \, \text{ and the singular values of } A \, \text{are } \sigma_1,\sigma_2 \}$. Entonces

$$\max_{A \in K} x_1 A_{11} +x_2A_{22}=x_1 \sigma_1+x_2 \sigma_2.$$

Basta probar que el máximo se obtiene en una matriz diagonal; para una matriz diagonal con entradas no negativas$A=\operatorname{diag}(\sigma_{\alpha(i)})$, la afirmación se reduce a la desigualdad de reordenamiento $\sum_i x_i\sigma_{\alpha(i)} \le \sum_i x_i\sigma_i$, dónde$\alpha \in S_2$es una permutación. (para la dimensión$2$esto se puede verificar directamente a mano).

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Supongo que esto debería ser bien conocido. ¿Hay alguna referencia en la literatura? ¿Es cierto para$n \times n$matrices?

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Si$x_1=x_2$, entonces esto se reduce a$\text{tr}(A) \le \sigma_1+\sigma_2$que es un resultado fácil clásico.