Derivación original de Boltzmann de la ley de Stefan-Boltzmann

Boltzmann se basó en dos propiedades conocidas de la radiación de cavidad.

(1) La densidad de energía,$u$, definido como$u = U/V$, depende solo de la temperatura,$T$.

(2) la presión de radiación,$p$es dado por$p= u/3$. La presión de radiación se le dio una base firme c1862 por Maxwell. El factor de 1/3 surge debido a la tridimensionalidad de la cavidad, en la que la radiación se propaga en todas las direcciones posibles. [Ahora es fácil para nosotros derivar esta ecuación considerando que la cavidad contiene un gas fotónico.]

Boltzmann (1884) usó un experimento mental en el que una cavidad está equipada con un pistón, y tomamos la radiación dentro de ella a través de un ciclo de Carnot. En un$p–V$diagrama las isotermas son solo líneas horizontales, porque$u$es constante entonces$p$es constante La entrada de calor a lo largo de la parte superior (temperatura$T$) isotérmica es$\Delta U + p \Delta V$. Esto resulta ser$4 p \Delta V$. Si la temperatura isotérmica más baja es solo ligeramente más baja, a la temperatura ($T - d T$) entonces el ciclo aparece como un cuadro horizontal delgado, y el trabajo neto realizado durante el ciclo es simplemente$dp \Delta V$en el cual$dp$es la diferencia de presión infinitesimal entre las dos isotermas. Entonces podemos aplicar la definición de temperatura termodinámica en la forma

$$\frac{dT}{T} = \frac{\text{work}}{\text{heat input}} = \frac{dp \Delta V}{4 p \Delta V} = \frac{dp}{4 p}~.$$

Esto se integra fácilmente para dar la ley de Stefan-Boltzmann.

Una derivación termodinámica moderna probablemente comenzaría a partir de la ecuación fundamental (que incorpora la primera y la segunda ley de la termodinámica)...

$$\text {d}U = T \text{d}S - P \text{d}V.$$ Por lo tanto, para un cambio isotérmico $$\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p .$$ Usando una de las relaciones de Maxwell, esto se convierte en $$\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T \left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p .$$ Pero para la radiación, $$\left(\frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = \left(\frac{\partial (uV)}{\partial V} \right)_T = u = 3p \ \ \ \ \ \text{and} \ \ \ \ \ \left(\frac{\partial p}{\partial T} \right)_V = \frac {\text{d} p}{\text{d}T}.$$ Haciendo estas sustituciones y ordenando, $$4p = T \frac {\text{d} p}{\text{d}T}.$$ Como antes, la separación de variables y la integración dan la ley de Stefan-Boltzmann.