Factor de normalización

Definamos una función de densidad de probabilidad gaussiana generalizada (PDF) como:

$$f_{s}\left( x \right) = A_{o} \ e^{^{\displaystyle - \frac{ (x - x_{o})^{2} }{ 2 \sigma^{2} } }} \tag{0}$$ dónde $A_{o}$es la constante de normalización, $x$es el argumento y $s$denota el conjunto de distribuciones (por ejemplo, especies de partículas), $x_{o}$es el desplazamiento del pico desde $x = 0$, y $\sigma$es la varianza de la distribución.

El factor de normalización$A_{o}$se encuentra usando la siguiente restricción:

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \ dx \ f_{s}\left( x \right) = 1 \tag{1}$$

La solución analítica a esta integral se puede encontrar en cualquier tabla integral estándar o usando algo como Mathematica , donde uno encuentra:

$$A_{o} = \frac{ 1 }{ \sqrt{2 \ \pi \ \sigma^{2}} } \tag{2}$$

Distribución de velocidad maxwelliana

Para convertir de la PDF gaussiana 1D en la Ecuación 0 anterior a una distribución de Maxwell-Boltzmann , o Maxwellian, simplemente convertimos las variables de la siguiente manera:

• $x \rightarrow v$, dónde$v$es el argumento de la velocidad de$f_{s}$que van desde$-\infty$a$+\infty$
• $x_{o} \rightarrow v_{o}$, dónde$v_{o}$es la velocidad de deriva o la velocidad de flujo a granel
• $2 \ \sigma^{2} \rightarrow V_{Ts}^{2}$, dónde$V_{Ts}$es la velocidad térmica (aquí la velocidad más probable )

Entonces podemos ver que el Maxwelliano 1D está dado por:

$$f_{s}\left( v \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{\pi} \ V_{Ts} } \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ v - v_{o} }{ V_{Ts} } \right)^{2} }} \tag{3}$$

La conversión a una distribución 3D completa es lo suficientemente simple siempre que cada componente de velocidad,$v_{j}$, no está correlacionado con ningún otro componente. Luego (dejando caer el subíndice$s$por brevedad) podemos definir:

$$\begin{align} f\left( v_{x}, v_{y}, v_{z} \right) & = f\left( v_{x} \right) \ f\left( v_{y} \right) \ f\left( v_{z} \right) \tag{4a} \\ & = \prod_{ k = x,y,z } \ A_{k} \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ v_{k} - v_{ok} }{ V_{Tk} } \right)^{2} }} \tag{4b} \end{align}$$ donde el factor de normalización total viene dado por: $$A_{x} \ A_{y} \ A_{z} \ = \frac{ 1 }{ \pi^{3/2} \ V_{Tx} \ V_{Ty} \ V_{Tz} } \tag{5}$$

Conversión a Energía

Para hacer esto correctamente, se debe usar un análogo de cantidad de movimiento de la versión espacio-velocidad descrita anteriormente.

En el límite no relativista, la conversión de cantidad de movimiento a energía es$E = \tfrac{p^{2}}{2 \ m}$o$p = \sqrt{2 \ m \ E}$. Por lo tanto, podemos ver que$dp/dE \propto E^{-1/2}$o$\propto p^{-1}$. Dado que la energía es un escalar, los límites de integración (p. ej., al encontrar el factor de normalización) cambian de$-\infty \leq v_{j} \leq +\infty$a$0 \leq E \leq +\infty$.

Luego, la versión 3D (p. ej., la Ecuación 4b anterior) se convierte en:

$$f\left( E \right) = \frac{ 1 }{ Z } \ e^{^{\displaystyle - \left( \frac{ E }{ k_{B} \ T } \right) }}$$ dónde $Z$es la función de partición , $k_{B}$es la constante de Boltzmann y $T$es la temperatura

En el límite relativista , la situación se vuelve increíblemente complicada como se explica en ¿Cuál es la función de distribución relativista correcta? .

Coeficientes de transporte

Se pueden calcular estos mediante el uso de los momentos de la distribución. Escribí una respuesta detallada para una distribución de velocidad no relativista en https://physics.stackexchange.com/a/218643/59023 .

Para hacer que las distribuciones de probabilidad que se muestran arriba sean consistentes con los momentos de velocidad discutidos en mi otra respuesta, puede redefinir$f_{s}$tal que cuando se integra sobre todo el espacio de velocidad se obtiene la densidad numérica del conjunto$s$.