Derivación del factor de fase de oscilación de neutrinos

Question

Derivación del factor de fase de oscilación de neutrinos

solitón

Como sabemos, el neutrino $\nu_{\alpha}$ con sabor $\alpha=e,\mu,\tau$ es una combinación lineal de estados propios de masa:

| v_{α} ⟩ = \sum_{i} {tu}_{α i} | v_{i} ⟩, i = 1, 2, 3

$|\nu_{\alpha}\rangle=\sum_iU_{\alpha i}|\nu_i\rangle,\quad i=1,2,3$ donde la propagación de los autoestados de masa

| ν_{i} ⟩

$|\nu_i\rangle$ se puede describir mediante soluciones de onda plana:

| v_{i} (t) ⟩ = {mi}^{- i ({mi}_{i} t - {\vec{pag}}_{i} \cdot \vec{X})} | v_{i} (0) ⟩ .

$|\nu_{i}(t)\rangle = e^{ -i ( E_{i} t - \vec{p}_{i} \cdot \vec{x}) } |\nu_{i}(0)\rangle.$ Suponer que

t = T

$t=T$ y

| \vec{x} | = L

$|\vec{x}|=L$ . Entonces el factor de fase puede estar dado por

\begin{aligned} {mi}_{i} T - {pag}_{i} L & = {mi}_{i} \frac{L}{\sqrt{1 - {metro}_{i}^{2} / {mi}_{i}^{2}}} - \sqrt{{mi}_{i}^{2} - {metro}_{i}^{2}} L \\ = {mi}_{i} L (1 + \frac{{metro}_{i}^{2}}{2 {mi}_{i}^{2}}) - {mi}_{i} L (1 - \frac{{metro}_{i}^{2}}{2 {mi}_{i}^{2}}) + O (\frac{{metro}_{i}^{4}}{{mi}_{i}^{3}}) \\ = \frac{{metro}_{i}^{2} L}{{mi}_{i}} + O (\frac{{metro}_{i}^{4}}{{mi}_{i}^{3}}) \end{aligned}

$\begin{split} E_iT-p_iL &= E_i\frac{L}{\sqrt{1-m_i^2/E_i^2}}-\sqrt{E_i^2-m_i^2}L \\ &=E_iL\left(1+\frac{m_i^2}{2E_i^2}\right)-E_iL\left(1-\frac{m_i^2}{2E_i^2}\right) +\mathcal{O}\left(\frac{m_i^4}{E_i^3}\right) \\ &=\frac{m_i^2L}{E_i}+\mathcal{O}\left(\frac{m_i^4}{E_i^3}\right) \end{split}$ Sin embargo, este resultado no es correcto. El artículo Oscilación de neutrinos en Wikipedia dice que

| v_{i} (L) ⟩ = {mi}^{- i {metro}_{i}^{2} L / 2 mi} | v_{i} (0) ⟩

$|\nu_{i}(L)\rangle = e^{ -i m_{i}^2 L/2E }|\nu_{i}(0)\rangle$ que difiere en un factor de

1 / 2

$1/2$ . No puedo entender qué está mal con mi derivación anterior (Tal vez la fórmula para el intervalo de tiempo

T

$T$ no es correcto, pero no estoy seguro). Cualquier ayuda es muy apreciada.

solitón

De la revisión de PDG proporcionada por el usuario 12262, encontré otro artículo Teoría cuántica de las oscilaciones de neutrinos para peatones: respuestas simples a preguntas confusas que es instructivo sobre esta pregunta.

Respuestas (1)

Derivación del factor de fase de oscilación de neutrinos

De la revisión de PDG proporcionada por el usuario 12262, encontré otro artículo Teoría cuántica de las oscilaciones de neutrinos para peatones: respuestas simples a preguntas confusas que es instructivo sobre esta pregunta.

usuario12262 · Answer 1

Entonces el factor de fase puede ser dado por [...] $\frac{m_i^2L}{E_i}+\mathcal{O}\left(\frac{m_i^4}{E_i^3}\right)$

El cálculo que se muestra en la declaración de la pregunta anterior me parece correcto.
Pero no es toda la historia...

[...] un factor de $1/2$

La aparición de este factor $\frac{1}{2}$ junto con la diferencia $\Delta~m^2_{jk} := m^2_j - m^2_k$ ha sido motivado de varias maneras, según el (reciente) artículo de PDG Review sobre la mezcla de neutrinos (cap. 13) .

La forma más rápida de hacerlo plausible parece calcular la interferencia (o latido) de dos ondas (de igual amplitud):

{mi}^{i ϕ} + {mi}^{i θ} = ({mi}^{\frac{1}{2} (i ϕ - i θ)} + {mi}^{\frac{1}{2} (i θ - i ϕ)}) \times {mi}^{\frac{1}{2} (i ϕ + i θ)} = 2 Porque [\frac{1}{2} (ϕ - θ)] \times {mi}^{\frac{1}{2} (i ϕ + i θ)} .

$e^{i \phi} + e^{i \theta} = \left( e^{ \frac{1}{2} (i \phi - i \theta) } + e^{ \frac{1}{2}~ (i \theta - i \phi) } \right) \times e^{ \frac{1}{2}~ (i \phi + i \theta) } = 2 ~ \text{Cos}[ \frac{1}{2} (\phi - \theta) ] \times e^{ \frac{1}{2}~ (i \phi + i \theta) }.$

Sustituyendo los " factores de fase " como se calculó anteriormente, se obtiene la diferencia de fase

d ϕ_{j k} := \frac{1}{2} (\frac{{metro}_{j}^{2} L}{{mi}_{j}} - \frac{{metro}_{k}^{2} L}{{mi}_{k}})

$\delta \phi_{jk} := \frac{1}{2}~ \left( \frac{m_j^2 L}{E_j} - \frac{m_k^2 L}{E_k} \right)$

que en "situaciones experimentales realistas" debido a $E \gg m ~ c^2$ se convierte en una buena aproximación (para una "energía media" adecuada $E$ ) más familiar

d ϕ_{j k} ≃ \frac{1}{2} Δ {metro}_{j k}^{2} \frac{L}{mi} .

$\delta \phi_{jk} \simeq \frac{1}{2}~ \Delta~m^2_{jk}~ \frac{L}{E}.$

El "factor de alta frecuencia" restante $e^{ \frac{1}{2}~ i~ \left( \frac{m_j^2 L}{E_j} + \frac{m_k^2 L}{E_k} \right) }$ aparentemente puede considerarse y tratarse como un "factor de fase de partícula única habitual".

Finalmente una nota sobre la terminología:

el neutrino $\nu_{\alpha}$ con sabor $\alpha = e, \mu, \tau$ es una combinación lineal de estados propios de masa [...] $

Cuando se hace referencia a los quarks oa los leptones cargados, la palabra " sabor " es sinónimo de " estado propio de masa ".
Me parece al menos desafortunado y confuso si no se sigue esta convención al referirse a los neutrinos; y, en correspondencia con la terminología utilizada para los quarks, prefiero llamar $\nu_e, \nu_{\mu},$ y $\nu_{\tau}$ "estados (eigen) débiles" de neutrinos (que se acoplan por interacción electrodébil a los leptones cargados del sabor indicado: $e, \mu,$ o $\tau$ ).

Muchas gracias. Del PDG, el intervalo de tiempo $T$ puede estar relacionado por $T=L/\bar{v}$ , dónde $\bar{v}$ es la velocidad ''promedio''. Pero, ¿por qué no se puede tratar como constante?
solitón: " Muchas gracias ". -- De nada; y gracias por preparar su pregunta. " [...] Velocidad ''promedio''. Pero, ¿por qué no puede tratarse como constante? " -- Encontré a Andrew G. Cohen, Sheldon L. Glashow y Zoltan Ligeti (2009). "Desentrañando oscilaciones de neutrinos". Physics Letters B 678: 191 bastante instructivo sobre este punto: me desengaño de algunas ideas preconcebidas ingenuas con respecto a la "velocidad de un neutrino". (El enlace también está en Wikipedia , por eso lo miré hoy ...)

Derivación del factor de fase de oscilación de neutrinos

solitón

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Respuestas (1)

usuario12262

solitón

usuario12262

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