Derivación de un POVM a partir de una medida proyectiva

Entiendo cómo mostrar que cada POVM es equivalente a una medida proyectiva en un espacio de Hilbert más grande, pero no entiendo por qué es cierto lo contrario. La gran mayoría de las explicaciones de POVM comienzan definiendo un POVM y luego muestran que dado cualquier POVM, puede tensar un ancilla apropiado en su sistema y convertir ese POVM en una medida proyectiva en el sistema combinado. Pero quiero saber cómo ir en la otra dirección: es decir, dada una medida proyectiva en un sistema más grande, ¿puedo reducirla a una POVM en un subsistema? Y si es así, ¿puedo hacerlo de forma independiente del estado?

Por ejemplo, supongamos que tengo un estado puro cuyo espacio de Hilbert es un producto de dos subsistemas$A$y$B$:$| \psi \rangle = \sum_{ab} \psi_{ab} | a \rangle | b \rangle$. Quiero hacer una medida proyectiva específica$\hat{M} = \sum_m m\, \hat{P}_m$en todo el sistema combinado, donde el$\{\hat{P}_m\}$son proyectores ortogonales. ¿Hay alguna forma de expresar el valor esperado?$\langle \psi | \hat{M} | \psi \rangle$en términos de un POVM en el sistema$A$¿solo? Si es así, ¿depende del estado?$| \psi \rangle$, o simplemente en$\hat{M}$y los espacios de Hilbert de los sistemas$A$y$B$? si depende del estado$| \psi \rangle$, entonces esto parece una limitación bastante seria, porque significa que no hay una forma independiente del estado de convertir una medida proyectiva ordinaria en una POVM. Me parece que en un experimento podemos conocer los detalles de la medida que queremos hacer, pero no los detalles del estado que estamos midiendo.

Lo más cercano que puedo encontrar a una explicación de esto está en http://arxiv.org/pdf/1110.6815v2.pdf en las págs. 10-11. El autor dice que "cualquier medida estándar que involucre más de un sistema físico puede describirse como una medida generalizada en uno de los subsistemas", lo que parece prometedor. Pero en el enunciado del teorema, asume que la medición solo se realiza en la ancilla, lo que parece una suposición bastante restrictiva que debilita su afirmación. (También supone que el sistema y la ancilla originalmente están desenredados y luego experimentan una evolución unitaria arbitraria. Pero si tuviera que partir de un estado experimental arbitrario, no hay un operador unitario independiente del estado que desenrede$A$y$B$, por lo que nuevamente esta configuración parece bastante dependiente del estado).

Editar: Quizás no entendí bien el punto de la formulación POVM. El artículo de Wikipedia sobre POVM dice: "En una analogía aproximada, un POVM es para un PVM lo que una matriz de densidad es para un estado puro ... Los POVM en un sistema físico se usan para describir el efecto de una medición proyectiva realizada en un sistema más grande. " Consideré que esto significaba que una medición POVM es una forma de restringir el efecto de una medición proyectiva arbitraria del estado purificado solo en el sistema original, pero tal vez esto sea incorrecto.

La prueba estándar que he visto muestra que una medida POVM arbitraria es equivalente a un tipo muy específico de medida proyectiva en un sistema compuesto. ¿Cómo sabemos que una medida proyectiva más complicada/general en un sistema compuesto (por ejemplo, una medida conjunta tanto en el sistema original como en cualquier ancilla añadida) puede expresarse como una medida POVM?