Simulación numérica de la ecuación maestra estocástica utilizando la ecuación estocástica de Schrödinger (función de onda Monte Carlo)

Antes de abordar las preguntas del OP, primero establezcamos rápidamente algunas convenciones y notación. Una ecuación maestra estocástica (SME) que describe trayectorias de salto cuántico se puede escribir en la forma

$$\mathrm{d}\rho = \mathrm{d}t \mathcal{L}_0\rho - {\rm d}t\sum_m \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}M^\dagger_m M_m]\rho + \sum_m {\rm d}\mu_m \mathcal{G}[M_m]\rho. \qquad (1)$$ Aquí,$\rho$es el estado cuántico condicionado a una secuencia dada de resultados de medición y definimos los superoperadores no lineales$\mathcal{H}[L]\rho = L\rho + \rho L^\dagger - {\rm Tr}[(L+L^\dagger)\rho]$y$\mathcal{G}[L]\rho = L\rho L^\dagger /{\rm Tr}[L^\dagger L\rho] - \rho$, tiempo$\mathcal{L}_0$es cualquier generador de Lindblad de la forma $$\mathcal{L}_0 = \mathcal{H}[-{\rm i}H] + \sum_n\mathcal{D}[N_n],$$ con$H$un hamiltoniano ($\hbar=1$) y$\mathcal{D}[L] \rho = L\rho L^\dagger - \tfrac{1}{2}\{L^\dagger L,\rho\}$un disipador con operador Lindblad$L$. Finalmente, tenemos los incrementos estocásticos de Poisson${\rm d} \mu_m = {\rm d}\mu_m^2,$que son variables aleatorias binarias (ya sea 0 o 1) con valor de expectativa condicional $$\mathbb{E}[{\rm d}\mu_m|\rho] = {\rm d}t \,{\rm Tr}[M^\dagger_m M_m\rho],$$ y que son estadísticamente independientes, satisfaciendo así${\rm d} \mu_m{\rm d} \mu_n = \delta_{mn}{\rm d} \mu_m$.

La particular secuencia de saltos.${\rm d}\mu_m$da lugar a un registro de medición$\mathbf{\mu}_m(t)$para cada canal de disipación que se monitorea (mediante detección directa, por ejemplo, conteo de fotones). Por ejemplo, un experimento en el que la fluorescencia de un átomo de dos niveles con tasa de emisión espontánea$\Gamma$es monitoreado con eficiencia de detección$\eta$se describe mediante una ecuación maestra estocástica con un canal monitoreado$M = \sqrt{\eta\Gamma}\sigma^-$y un canal no monitoreado$N = \sqrt{(1-\eta)\Gamma}\sigma^-$(que describe la decoherencia debida a los fotones no detectados). El registro de medida es la secuencia de clics del fotodetector obtenidos en una determinada realización del experimento.

Al promediar el SME (1) sobre el registro de medición de acuerdo con las estadísticas de salto anteriores, se obtiene una ecuación de Lindblad para el estado promedio del conjunto$\bar{\rho} = \mathbb{E}[\rho]$dada por

$$\frac{{\rm d}\bar{\rho}}{{\rm d}t} = \mathcal{L}_0 \bar{\rho} + \sum_m\mathcal{D}[M_m]\bar{\rho}.$$ Para obtener más detalles matemáticos, consulte el libro de texto de Wiseman & Milburn .

El OP primero pregunta si es posible descifrar la ecuación maestra (1) en trayectorias de estado puro de esta manera y, de hecho, la respuesta es afirmativa. Si desentrañamos el generador$\mathcal{L}_0$, obtenemos una pyme

$${\rm d}\rho = {\rm d}t\mathcal{H}[-{\rm i}H]\rho - {\rm d}t\sum_m \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}M^\dagger_m M_m]\rho - {\rm d}t\sum_n \mathcal{H}[ \tfrac{1}{2}N^\dagger_n N_n]\rho+ \sum_m {\rm d}\mu_m \mathcal{G}[M_m]\rho + \sum_n {\rm d}\nu_n \mathcal{G}[N_n]\rho,$$ donde el Poisson estocástico incrementa${\rm d}\nu_n = {\rm d}\nu_n^2$obedecer las estadísticas $$\mathbb{E}[{\rm d}\nu_n|\rho] = {\rm d}t \,{\rm Tr}[N^\dagger_n N_n\rho],$$ y son estadísticamente independientes entre sí y del${\rm d}\mu_m$.

Esta evolución conserva la pureza y, por lo tanto, también se puede escribir como una ecuación estocástica de Schroedinger (SSE) para estados puros (condicionales)

$${\rm d}|\psi\rangle = -{\rm i}H|\psi\rangle {\rm d}t - \tfrac{1}{2}\sum_l \left(L^\dagger_l L_l - \langle \psi\lvert L^\dagger_l L_l|\psi\rangle \right)|\psi\rangle {\rm d}t + \sum_l{\rm d}\lambda_l \left( \frac{L_l}{\sqrt{\langle\psi|L^\dagger_l L_l|\psi\rangle}} -1 \right)|\psi\rangle, \qquad (2)$$ donde todos los operadores de salto$L_l = \{M_m,N_n\}$e incrementos estocásticos${\rm d}\lambda_l = \{{\rm d}\mu_m,{\rm d}\nu_n\}$han sido agrupados por razones de brevedad. El SSE puede interpretarse como una descripción de un proceso de medición continua eficiente sobre el entorno responsable de los canales de disipación.$N_n$, además del medio ambiente responsable de$M_m$. En nuestro ejemplo anterior, simplemente corresponde a una medición de fluorescencia perfectamente eficiente en nuestro átomo de dos niveles, en la que ningún fotón pasa desapercibido.

Ahora, el OP pregunta si se puede recuperar la primera SME promediando el "registro de medición"$\nu_n$correspondiente sólo a los saltos$N_n$que se produce en los canales de disipación. La respuesta es sí, formalmente hablando, sin salvedades, ya que los incrementos estocásticos${\rm d}\nu_n$son independientes de la${\rm d}\mu_m$. Sin embargo, en la práctica esto sería una simulación muy desafiante. La razón de esto es que la PYME describe una evolución diferente para cada posible realización de los registros de medición.$\mu_m$. Para recuperar la PYME (1) para un determinado$\mu_m$, uno necesita promediar la Ec. (2) sobre muchas trayectorias en las que exactamente la misma secuencia de saltos ${\rm d}\mu_m$ocurrió. Sin embargo, es extremadamente improbable obtener dos trayectorias con exactamente (o casi exactamente) la misma secuencia de saltos. Por lo tanto, espero que un número muy (es decir, prohibitivamente) grande de trayectorias de Eq. (2) será necesario para recuperar la ecuación. (1) para un dado$\mu$.

voy a tratar de responder a la pregunta

si el sistema es continuamente monitoreado Y amortiguado, la evolución de la matriz de densidad estará condicionada a la medición (aleatoria). ¿Se puede encontrar una formulación > equivalente en términos de un SSE? ¿Hay alguna advertencia?

En primer lugar, no solo está hablando de monitorear continuamente el sistema cuántico (que es lo que está haciendo el entorno en la ecuación de Lindblad Master), sino que está hablando de introducir algún mecanismo de retroalimentación condicionado al resultado de su monitoreo. Cuando hace esto, termina con una ecuación maestra que tiene la misma forma de Lindblad (con diferentes superoperadores de pérdida) y no una ecuación maestra estocástica. Permítanme esbozar el razonamiento de la siguiente manera:

De SSE a Lindblad ida y vuelta

Permítanme comenzar diciendo que una ecuación maestra de la forma

$$\dot{\rho} = \mathcal{L} \rho$$ codifica la evolución media de un sistema. En un Sistema Cuántico general de no equilibrio podemos suponer que la mezcla de la matriz de densidad es el resultado de un promedio de varios estados puros posibles$|\psi_i\rangle$cada uno con su probabilidad$p_i$. La evolución temporal de esos estados puros se puede desentrañar en la ecuación estocástica de Schroedinger, que tiene la forma general $$d|\psi_i(t)\rangle = f(|\psi_i(t)\rangle, t)dt + g(|\psi_i(t)\rangle, t)dW(t)$$ donde dW(t) es un proceso de Wiener que normalmente genera un ruido con correlación delta. Esto es formalmente equivalente a la segunda ecuación que escribiste (que creo que tiene un par de errores tipográficos).

Si define la matriz de densidad de estado puro$\rho_i = |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$, entonces puede reescribir el SSE en una ecuación estocástica para esta matriz de densidad de estado puro, obteniendo

$$d\rho_i(t) = \mathcal{L}\rho_i dt + g(\rho_i(t), t)dW(t)$$

A partir de esta ecuación, puede recuperar el Lindblad ME simplemente sumando todos los estados puros posibles, como

• si sumas todos los estados puros posibles tienes$\rho=\sum_i\rho_i$;
• $\langle dW\rangle = \sum_i dW = 0$porque es un proceso de Wiener.

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Entonces, si desea introducir retroalimentación en su sistema, generalmente lo hace diciendo que aplica un determinado operador$\hat{B}$en el momento$t$condicionado a algo que mediste en$t-\tau$, donde$\tau$representa el retraso de la acción de retroceso (y entonces es posible que desee ver qué sucede si$\tau\rightarrow0$).

Esencialmente, puede demostrar que si agrega el mecanismo de retroalimentación a su SSE, obtiene una ecuación de la forma:

$$d\rho_i(t) = \mathcal{L}\rho_i dt + (g(\rho_i(t), t)+b(\rho_i(t), t))dW(t) + h(\rho_i(t), t)dW(t)dW(t-\tau)$$

donde$\mathcal{L}$es el Liouvillian y$g$el efecto estocástico de las pérdidas en el sistema sin retroalimentación, mientras que b y h se deben a la retroalimentación. La prueba para llegar a esta fórmula es bastante elaborada, pero también deberías encontrarla en el libro que mencionaste.

Gracias a las reglas del cálculo estocástico$dW(t)dW(t-\tau)\propto dt$, de modo que obtenga una nueva ecuación estocástica para estados puros

$$d\rho_i(t) = (\mathcal{L}\rho_i + h(\rho_i(t), t))dt + g(\rho_i(t), t)dW(t)$$

lo que nuevamente, si promedia todos los estados puros, le dará una ecuación maestra de Lindblad con un Lindbladian modificado, lo que demuestra que agregar retroalimentación a un sistema es muy similar a acoplarlo a un entorno particular.

Un área de investigación activa en Quantum System es exactamente eso: cómo podemos diseñar la disipación (el entorno) para que su efecto sea el de realizar una retroalimentación (o feedforward) en el sistema.