Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir del hamiltoniano KdV

Dejar$f=f(q,p)$,$g=g(q,p)$y soporte de posición

$$\{f,g\}=\frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial g}{\partial p}-\frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial g}{\partial q}. \tag{1}$$ Entonces las ecuaciones de Hamilton para hamiltoniano $H=H(q,p)$son $$\dot{q}=\{q,H(q,p)\}, \tag{2}$$ $$\dot{p}=\{p,H(q,p)\}. \tag{3}$$ Ahora deja $\mathcal{F}(\mathbb{R})$ser un espacio de función en $\mathbb{R}$para que por $u\in\mathcal{F}$tenemos $u$y sus derivados se descomponen en $\pm\infty$. Estoy tratando de construir las ecuaciones de Hamilton para Hamiltonian $$H=\int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{2}u_x^2-u^3\right)\,dx \tag{4}$$ utilizando el soporte de Poisson $$\{F,G\}(u)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\delta F}{\delta u}\frac{d}{dx}\left(\frac{\delta G}{\delta u}\right)\,dx. \tag{5}$$ ¿Es correcto si tomo $H=H(u,v)$con $u=u$y $v=u_x$? Si es así, ¿debería dejar las ecuaciones de Hamilton como $$\dot{u}=\{u,H\}=-\int_{-\infty}^\infty\left(6uu_x+u_{xxx}\right)\,dx=-\int_{-\infty}^\infty\left(6uv+v_{xx}\right)\,dx ,\tag{6}$$ $$\dot{v}=\{v,H\}=\int_{-\infty}^\infty u_{xx}\,dx=\int_{-\infty}^\infty v_{x}\,dx ,\tag{7}$$ o evaluar las integrales?