Derivación de la velocidad de la luz utilizando las formas integrales de las ecuaciones de Maxwell

La forma manual de hacerlo es considerar una solución de onda como la que se muestra a continuación y aplicar la ley de Faraday al bucle 1 y la ley de Ampere al bucle 2:

Si hace que los bucles sean lo suficientemente angostos, es decir, sus anchos son$dx$, entonces

Las formas diferencial e integral de las ecuaciones de Maxwell son verdaderamente equivalentes; son esencialmente el mismo conjunto de ecuaciones.

Uno puede convertir entre los dos usando dos teoremas matemáticos:

Teorema de la divergencia ( Wikipeda - Teorema de la divergencia ) Teorema de Stokes ( Wikipedia - Teorema de Stokes )

El teorema de la divergencia establece que el flujo sobre una superficie cerrada de un campo vectorial es igual a la integración de la divergencia de ese campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie. El teorema de Stokes establece que la integral de línea de un campo vectorial sobre un camino cerrado es igual a la integración del rotacional de ese campo vectorial sobre cualquier superficie limitada por el camino cerrado.

Ahora, lo que buscas mostrar es una ecuación de onda, que como has dicho es una forma diferencial; que es como sigue:

$\nabla^{2} \vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$

Ahora, para llegar allí desde la forma integral, lo que haces es lo siguiente: toma la tercera ecuación, por ejemplo, que dice:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Ahora el teorema de Stokes establece que:

$\oint \limits_C \vec{E} \cdot \vec{dl} = \iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS}$

Conéctelo y obtendrá:

$\iint\limits_S \vec{\nabla} \times \vec{E} \cdot \vec{dS} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint\limits_S \vec{B}\cdot \vec{dS}$

Cambie el orden de la derivada e integral del tiempo (sí, puede hacerlo) y recopile bajo el mismo signo integral:

$\iint\limits_S (\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} )\cdot \vec{dS}$

Ahora, dado que esto debe ser válido para cualquier superficie S, el integrando en sí debe ser cero. Entonces obtenemos:

$\vec{\nabla} \times \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = 0$

Ahora, estamos en camino de obtener la ecuación de onda, pero lo que hemos hecho como primer paso es simplemente convertir la forma integral de la ecuación a su forma diferencial. Para continuar, necesitaría hacer lo mismo con las dos primeras ecuaciones, luego aplicar$(\vec{\nabla}\times)$operador a la ecuación que acabamos de obtener arriba... Use una identidad vectorial, y llegue allí...

¡Puede decir que esto no es realmente usar las formas integrales para llegar a la ecuación de onda! Bueno, es a partir de las formas integrales de las ecuaciones, pero ¿qué opción tenemos si lo que estamos tratando de llegar a una ecuación diferencial de segundo orden de todos modos?

(El procedimiento anterior le dará la ecuación de onda para$\vec{E}$. Para conseguir el uno para$\vec{B}$, deberá comenzar con la ecuación cuatro...)

Creo que lo que hago es similar a lo que ha publicado lionelbrits. Calculo el voltaje alrededor de una antena de bucle cuadrado de dos maneras: primero, como la tasa de cambio del flujo magnético desde el pico de la onda magnética que pasa; y segundo, como la diferencia máxima de los voltajes a lo largo de las dos patas verticales calculada integrando el vector e.

Si asume que el vector E y el vector H son sinusoidales, y que la relación entre ellos es de 377 ohmios, entonces la única forma en que esos dos cálculos de antena dan la misma respuesta es si la velocidad de la luz es 3 x 10 ^ 8 .