Derivación de la velocidad de propagación de un cambio en el campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell

Aunque esta es una derivación estándar, con frecuencia no se ve en los cursos de introducción al electromagnetismo, tal vez porque esos cursos rehuyen el uso intensivo del cálculo vectorial. Este es el enfoque habitual. Encontraremos una ecuación de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Empezar con

$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$.

Calcular una derivada parcial de ambos lados con respecto al tiempo. El operador curl no tiene parcial con respecto al tiempo, por lo que esto se convierte en

$\nabla \times \frac{\partial\vec{E}}{\partial t} = -\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}$.

Hay otra de las ecuaciones de Maxwell que nos habla de$\partial\vec{E}/\partial t$.

$\nabla \times \vec{B} = \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

Resuelve esto para$\partial\vec{E}/\partial t$y sustituya en la expresión anterior para obtener

$\nabla \times \frac{(\nabla \times \vec{B})}{\mu_0\epsilon_0} = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

la identidad curl de curl nos permite reescribir esto como

$\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}\left(\nabla(\nabla \cdot \vec{B}) - \nabla^2\vec{B}\right) = -\frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2}$

Pero la divergencia del campo magnético es cero, así que elimine ese término y reorganícelo para

$\frac{-1}{\mu_0 \epsilon_0}\nabla^2\vec{B} + \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0$

Esta es la ecuación de onda que estamos buscando. Una solución es

$\vec{B} = B_0 e^{i (\vec{x}\cdot\vec{k} - \omega t) }$.

Esto representa una onda plana que viaja en la dirección del vector$\vec{k}$con frecuencia$\omega$y velocidad de fase$v = \omega/|\vec{k}|$. Para ser una solución, esta ecuación debe tener

$\frac{\omega^2}{k^2} = \frac{1}{\mu_0\epsilon_0}$.

O, ajuste$v = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$

$\frac{\omega}{k} = v$

Esto se llama la relación de dispersión . La velocidad a la que viajan las señales electromagnéticas viene dada por la velocidad de grupo

$\frac{d\omega}{d k} = v$

Entonces, las señales electromagnéticas en el vacío viajan a gran velocidad.$c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$.

Editar Puede seguir los mismos pasos para derivar la ecuación de onda para$\vec{E}$, pero tendrás que asumir que estás en espacio libre, es decir$\rho = 0$.

Editar El rizo de la identidad del rizo era incorrecto, hay un número negativo allí

La respuesta de Mark es correcta, pero es demasiado larga y oculta el remate. Así que déjame mostrarte una derivación más corta usando matemáticas más avanzadas. Sin embargo, no demasiado avanzado, solo formalismo tensorial en el espacio-tiempo de Minkowski para la relatividad especial y las formas diferenciales . Necesitará todo esto más temprano que tarde, por lo que debería ser útil aprender (al menos un poco) sobre esto ya. Esta respuesta sería solo unas pocas líneas si ya conocieras el formalismo, pero será un poco más larga porque intentaré enseñarte también sobre el formalismo.

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Probablemente sepa que las transformaciones de Lorentz se mezclan$\mathbf E$y$\mathbf B$. Por lo tanto, no son realmente independientes y resulta que son solo una parte del tensor de 4 dimensiones antisimétrico de rango 2 (esto realmente significa$4 \times 4$matriz antisimétrica)$\mathbf F$. Ahora, debería ser al menos dimensionalmente claro que dicha matriz tiene 6 componentes independientes que coinciden precisamente con 3+3 grados de libertad de$\mathbf E$y$\mathbf B$.

Probablemente también deberías saber que ambos$\mathbf E$y$\mathbf B$puede expresarse en términos de potenciales. En nuestro formalismo se traduce en${\mathbf F} = {\rm d} {\mathbf A}$dónde${\rm d}$es la derivada exterior $\mathbf A$es el cuatro potencial que combina escalar$\phi$y tres vectores$\mathbf A$potenciales que ya deberías conocer y amar.

Ahora resulta que las ecuaciones de Maxwell en el vacío tienen una forma realmente simple en este formalismo.

$${\rm d}{\mathbf F} = 0$$ $${\rm \delta}{\mathbf F} = 0$$ con $\delta$siendo el codiferencial el cual es dual a $\rm d$. La primera ecuación en realidad nos dice que existe cuatro potenciales (porque ${\rm d}^2 = 0)$y el segundo es la ecuación evolutiva real que contendría cuatro corrientes $\mathbf j$si no estuviéramos en el vacío. Ahora siempre que tengamos una solución para estas ecuaciones, también resolverán $$\square {\mathbf F} = ({\rm d\delta + \delta d}) {\mathbf F} = 0$$ Pero esto $\square$es precisamente el operador de ondas de d'Alembert y, de hecho, $\mathbf F$se propaga a la velocidad de la luz.

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Referencia: artículo de Wikipedia sobre el formalismo covariante o de cuatro vectores

Comience tomando el rotacional de la tercera ecuación de Maxwell (para el vacío) y sustituyendo$\vec{B}=\mu_0\vec{H}$uno puede obtener,

$$\nabla^2.\vec{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{E}$$

De manera similar, tomando rotacional de la cuarta ecuación de Maxwell, sustituyendo

$$\nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial}{\partial t}\mu_0\vec{H}$$

uno puede obtener

$$\nabla^2.\vec{H} = \mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{H}$$

La solución de las dos ecuaciones es de la forma

$$E = E_o e^{\iota(\omega t + \beta z)}\ \ \ \ ;\ \ \ \ H = H_oe^{\iota(\omega t+\beta z)}$$

Tomando el doble de la derivada temporal de estos resultados, se obtiene

$$\frac{\partial}{\partial t} = \iota\omega\ \ \ \ ;\ \ \ \ \frac{\partial^2}{\partial t^2}=-\omega^2$$

Si insertamos estos resultados en nuestro$\nabla^2$ecuaciones, obtendremos la ecuación de Helmholtz para$\vec{E}$y$\vec{H}$como

$$(\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{E} = 0 = (\nabla^2 + \omega^2 \mu_0 \epsilon_0)\vec{H}$$

Aquí la expresión$\omega^2 \mu_0 \epsilon_0 = \beta^2$cual es el numero de onda. Al resolver esta expresión podemos obtener la ecuación anterior.

$$\frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

También,$\omega = 2\pi f$y$\beta = 2\pi/\lambda$lo que nos lleva a la ecuación deseada,

$$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o \epsilon_0}}$$

Ya que,$mu_0 = 4\pi\times10^{-7}$H/m y$\epsilon_0 \approx 8.85\times10^{-12}$F/m esta ecuación produce$c = 299 792 458$milisegundo