Derivación de la temperatura del agujero negro de Reissner-Nordström (cargado)

Gran parte del texto para esto es de "¿Cómo se interpreta correctamente el comportamiento de la capacidad calorífica de un agujero negro cargado?" pero esto se refiere a una cuestión diferente. La solución del agujero negro de Reissner-Nordström es:

d s 2 = − ( 1 − 2 METRO r + q 2 r 2 ) d t 2 + ( 1 − 2 METRO r + q 2 r 2 ) − 1 d r 2 + r 2 d Ω 2 2

Definamos F ( r ) ≡ ( 1 − 2 METRO r + q 2 r 2 ) . Claramente, las soluciones a F ( r ) = 0 son r ± = METRO ± METRO 2 − q 2 , y estos representan los dos horizontes del agujero negro cargado. Si estamos considerando un punto cercano r + , podemos reescribir F ( r ) como sigue:

F ( r + ) ∼ ( r + − r − ) ( r − r + ) r + 2

Lo que no entiendo es cómo se puede derivar la temperatura del agujero negro a partir de esta relación. La temperatura viene dada por

T = r + − r − 4 π r + 2 = 1 2 π METRO 2 − q 2 ( METRO + METRO 2 − q 2 ) 2

No pude encontrar una respuesta razonable sobre cómo podemos obtener la temperatura de F ( r + ) . ¿Cuáles son los pasos y razonamientos que faltan al dar este salto?

Respuestas (2)

La temperatura de un agujero negro está relacionada con su gravedad superficial. Para agujeros negros estacionarios, la gravedad superficial viene dada por

k 2 = − 1 2 D a ξ b D a ξ b | r = r +
dónde ξ = ∂ t es el vector Killing similar al tiempo del espacio-tiempo y r = r + es el horizonte. Para espacios-tiempos que tienen métrica de la forma
d s 2 = − F ( r ) d t 2 + d r 2 F ( r ) + r 2 d Ω 2
Esta cantidad resulta ser
k = 1 2 F ′ ( r + )
Entonces la temperatura del agujero negro viene dada por
T = k 2 π = 1 4 π F ′ ( r + )
Para el agujero negro RN
F ( r ) = 1 r 2 ( r − r + ) ( r − r − ) ⟹ F ′ ( r + ) = r + − r − r + 2
que reproduce su fórmula.

haría T = 1 4 π F ′ ( r + ) cierto para un agujero negro de Schwarzschild en A d S 5 dónde F ( r ) = − gramo 00 = 1 − 2 metro r 2 + r 2 b 2 ?
@ usuario280325 Sí. Creo que sigue siendo cierto que T ∝ F ′ ( r + ) aunque la constante general podría depender de la dimensión del espacio-tiempo.
@user280325 - En realidad, acabo de comprobar esto y todavía tenemos T = 1 4 π F ′ ( r + ) .
estoy tratando de calcular k pero que es ξ ? ¿Es solo ( 1 , 0 , 0 , 0 ) ?

La ecuación se deriva de la relación entre la temperatura del agujero negro y la gravedad de la superficie:

T = k 2 π

dónde k es la gravedad superficial . Consulte el artículo de Wikipedia sobre la radiación de Hawking para obtener más información y, en particular, la sección titulada Proceso de emisión .

Para el agujero negro RN esta expresión da:

T = 1 2 π 1 gramo r r d − gramo t t d t | r = r +

Convertir esto en la expresión que cita es solo álgebra.

Derivación de la temperatura del agujero negro de Reissner-Nordström (cargado)
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